Giáugshshshhshdh

Câu 1. Để xác định hàm số có đồ thị như Hình 1, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho: 1. Hàm số \( y = \sin x \): - Hàm số \( y = \sin x \) có chu kỳ là \( 2\pi \). - Đồ thị của \( y = \sin x \) cắt trục hoành tại các điểm \( x = k\pi \) (k là số nguyên). - Đồ thị của \( y = \sin x \) đạt giá trị lớn nhất là 1 tại \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) và giá trị nhỏ nhất là -1 tại \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \). 2. Hàm số \( y = \cos x \): - Hàm số \( y = \cos x \) có chu kỳ là \( 2\pi \). - Đồ thị của \( y = \cos x \) cắt trục hoành tại các điểm \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (k là số nguyên). - Đồ thị của \( y = \cos x \) đạt giá trị lớn nhất là 1 tại \( x = 2k\pi \) và giá trị nhỏ nhất là -1 tại \( x = \pi + 2k\pi \). 3. Hàm số \( y = \tan x \): - Hàm số \( y = \tan x \) có chu kỳ là \( \pi \). - Đồ thị của \( y = \tan x \) cắt trục hoành tại các điểm \( x = k\pi \) (k là số nguyên). - Đồ thị của \( y = \tan x \) không giới hạn giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, và có các đường tiệm cận đứng tại \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \). So sánh với đồ thị trong Hình 1, ta thấy rằng: - Đồ thị cắt trục hoành tại các điểm \( x = k\pi \). - Đồ thị đạt giá trị lớn nhất là 1 tại \( x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \) và giá trị nhỏ nhất là -1 tại \( x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \). Như vậy, đồ thị này tương ứng với hàm số \( y = \sin x \). Đáp án: A. \( y = \sin x \). Câu 2. Để xác định đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$ dựa vào bảng biến thiên, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng là đường thẳng đứng mà hàm số tiến đến vô cùng hoặc âm vô cùng khi $x$ tiến đến một giá trị cố định nào đó. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x$ tiến đến 3 từ bên trái ($x \to 3^-$), giá trị của $f(x)$ tiến đến dương vô cùng ($+\infty$). Tương tự, khi $x$ tiến đến 3 từ bên phải ($x \to 3^+$), giá trị của $f(x)$ cũng tiến đến dương vô cùng ($+\infty$). - Do đó, đường tiệm cận đứng là $x = 3$. 2. Xác định đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang là đường thẳng ngang mà hàm số tiến đến khi $x$ tiến đến dương vô cùng hoặc âm vô cùng. - Từ bảng biến thiên, ta thấy khi $x$ tiến đến dương vô cùng ($x \to +\infty$), giá trị của $f(x)$ tiến đến 1. Tương tự, khi $x$ tiến đến âm vô cùng ($x \to -\infty$), giá trị của $f(x)$ cũng tiến đến 1. - Do đó, đường tiệm cận ngang là $y = 1$. Từ các phân tích trên, ta kết luận rằng đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là: - Đường tiệm cận đứng: $x = 3$ - Đường tiệm cận ngang: $y = 1$ Vậy đáp án đúng là: \[ D.~x=3,~y=1. \] Câu 3. Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \frac{1}{x \ln 3}$, ta cần tìm một hàm số $F(x)$ sao cho $F'(x) = y$. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định hàm số nào là nguyên hàm của $y$. A. $y = \ln x$ - Nguyên hàm của $\ln x$ là $x \ln x - x + C$, không phải là $\frac{1}{x \ln 3}$. B. $y = \ln(3x)$ - Nguyên hàm của $\ln(3x)$ là $x \ln(3x) - x + C$, không phải là $\frac{1}{x \ln 3}$. C. $y = \log_3 x$ - Nguyên hàm của $\log_3 x$ là $\frac{x \log_3 x - x}{\ln 3} + C$, không phải là $\frac{1}{x \ln 3}$. D. $y = \ln \frac{x}{3}$ - Ta có $\ln \frac{x}{3} = \ln x - \ln 3$. - Nguyên hàm của $\ln x - \ln 3$ là $x \ln x - x - x \ln 3 + C = x \ln x - x (\ln 3 + 1) + C$, không phải là $\frac{1}{x \ln 3}$. Ta thấy rằng không có đáp án nào trong các lựa chọn trên là nguyên hàm của $y = \frac{1}{x \ln 3}$. Tuy nhiên, ta có thể nhận thấy rằng: $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ Do đó, nếu nhân thêm $\frac{1}{\ln 3}$ vào, ta có: $\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{\ln 3}\right) = \frac{1}{x \ln 3}$ Vậy nguyên hàm của $y = \frac{1}{x \ln 3}$ là $\frac{\ln x}{\ln 3} + C$. Như vậy, đáp án đúng là: C. $y = \log_3 x$ Đáp án: C. $y = \log_3 x$ Câu 4. Ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một để xác định phát biểu đúng. A. $\int(\sin x + \cos x) dx = \int \sin x dx + \int \cos x dx$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm bằng tổng các tích phân của chúng: \[ \int (\sin x + \cos x) dx = \int \sin x dx + \int \cos x dx \] Phát biểu này đúng. B. $\int(\sin x + \cos x) dx = \int \sin x dx - \int \cos x dx$ Phát biểu này sai vì tích phân của tổng hai hàm không bằng tích phân của một hàm trừ đi tích phân của hàm còn lại. C. $\int(\sin x + \cos x) dx = -\int \sin x dx + \int \cos x dx$ Phát biểu này sai vì tích phân của tổng hai hàm không bằng tích phân của một hàm nhân với (-1) cộng với tích phân của hàm còn lại. D. $\int(\sin x + \cos x) dx = -\int \sin x dx - \int \cos x dx$ Phát biểu này sai vì tích phân của tổng hai hàm không bằng tích phân của một hàm nhân với (-1) trừ đi tích phân của hàm còn lại. Vậy phát biểu đúng là: \[ A. \int(\sin x + \cos x) dx = \int \sin x dx + \int \cos x dx \] Đáp án: A. Câu 5. Để tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\frac{x-1}2=\frac{y+2}3=\frac{z-3}4$, ta cần xác định các hệ số trong phương trình tham số của đường thẳng. Phương trình tham số của đường thẳng có dạng: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Trong đó, $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ một điểm trên đường thẳng và $(a, b, c)$ là các thành phần của vectơ chỉ phương. So sánh với phương trình đã cho: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{4} \] Ta thấy rằng: - Điểm $(1, -2, 3)$ nằm trên đường thẳng. - Các hệ số tương ứng là $a = 2$, $b = 3$, $c = 4$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng là: \[ \overrightarrow{u} = (2, 3, 4) \] Trong các lựa chọn đã cho, vectơ chỉ phương đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u}_2 = (2, 3, 4) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{u}_2 = (2, 3, 4)} \] Câu 6. Phương trình của mặt cầu có tâm \( I(a, b, c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Trong bài này, tâm của mặt cầu là \( I(7, 6, -5) \) và bán kính là 9. Do đó, ta thay \( a = 7 \), \( b = 6 \), \( c = -5 \) và \( R = 9 \) vào phương trình trên: \[ (x - 7)^2 + (y - 6)^2 + (z - (-5))^2 = 9^2 \] \[ (x - 7)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 81 \] Vậy phương trình của mặt cầu là: \[ (x - 7)^2 + (y - 6)^2 + (z + 5)^2 = 81 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(x-7)^2+(y-6)^2+(z+5)^2=81. \] Câu 7. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của đề bài và suy luận logic để tìm ra đáp án đúng. 1. Hàm số liên tục trên $\mathbb R$: Điều này có nghĩa là hàm số $y = f(x)$ không có điểm gián đoạn trên toàn bộ tập số thực. 2. Điều kiện $f(x) \leq M,~\forall x \in \mathbb R$: Điều này cho thấy rằng giá trị của hàm số $f(x)$ không vượt quá giá trị $M$ ở bất kỳ điểm nào trên $\mathbb R$. Do đó, $M$ là giá trị lớn nhất mà hàm số có thể đạt được. 3. Tồn tại $a \in \mathbb R$ sao cho $f(a) = M$: Điều này cho thấy rằng giá trị lớn nhất $M$ thực sự được đạt đến bởi hàm số tại ít nhất một điểm $a$ trong tập số thực. Dựa vào các thông tin trên, chúng ta có thể kết luận rằng: - Hàm số $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất bằng $M$ tại điểm $a$. Do đó, đáp án đúng là: A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $M$. Lập luận từng bước: - Hàm số liên tục trên $\mathbb R$ đảm bảo rằng không có điểm gián đoạn. - Điều kiện $f(x) \leq M$ cho thấy $M$ là giá trị lớn nhất mà hàm số có thể đạt được. - Tồn tại điểm $a$ sao cho $f(a) = M$ chứng minh rằng giá trị lớn nhất $M$ thực sự được đạt đến. Vậy, đáp án cuối cùng là: A. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $M$. Câu 8. Trong không gian Oxyz, ta có các vectơ đơn vị là $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, và $\overrightarrow{k}$ tương ứng với các trục x, y, z. Vectơ $\overrightarrow{u} = 2\overrightarrow{k} - 3\overrightarrow{j} + 4\overrightarrow{i}$ có thể viết dưới dạng tọa độ như sau: - Tọa độ x là hệ số của $\overrightarrow{i}$, tức là 4. - Tọa độ y là hệ số của $\overrightarrow{j}$, tức là -3. - Tọa độ z là hệ số của $\overrightarrow{k}$, tức là 2. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}$ là $(4, -3, 2)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(4, -3, 2) \] Câu 9. Để giải bất phương trình $\log_{0,5}x > 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{0,5}x > 3$, ta cần đảm bảo rằng $x > 0$ vì căn lô-ga-rít chỉ xác định khi đối số dương. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_{0,5}x > 3$. - Điều này tương đương với $x < (0,5)^3$ vì hàm lô-ga-rít cơ số nhỏ hơn 1 là hàm giảm. - Tính $(0,5)^3 = 0,125$. 3. Tìm tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 0$ và kết quả từ bước trên $x < 0,125$, ta có: \[ 0 < x < 0,125 \] - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(0; 0,125)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(0;0,125). \]