Có 2 bình thông nhau, mỗi bình có diện tích S=100cm2, chứa nc. Trong mỗi bình, có 1 pittong ko trọng lượng dc gắn vs 1 lò xo cố định có độ cứng k=100N/m. Ko gian dưới pittong chứa đầy ko khí. Khi nhiệt...

Cho dữ liệu bài toán: - Diện tích pittong: \( S = 100\,cm^2 = 100 \times 10^{-4} = 10^{-2} \, m^2 \) - Độ cứng lò xo: \( k = 100\, N/m \) - Nhiệt độ ban đầu: \( T_0 = 100\, K \) - Khoảng cách giữa pittong và mặt nước ban đầu: \( h_0 = 20\, cm = 0.2\, m \) - Áp suất khí quyển: \( p_0 = 10^5\, Pa \) - Khối lượng riêng nước: \( D = 1000\, kg/m^3 \) - Gia tốc trọng trường: \( g = 10\, m/s^2 \) - Khoảng nâng pittong cần tìm: \( x = 5\, cm = 0.05\, m \) --- ### Phân tích bài toán Hai bình thông nhau, mực nước ban đầu bằng nhau, pittong đặt trên mặt nước, không bị biến dạng lò xo. Áp suất trong không gian dưới pittong bằng áp suất khí quyển cộng thêm áp suất của cột nước tương ứng và áp lực của lò xo (nếu có). --- ### a) Tính số mol khí ban đầu - Áp suất khí trong không gian dưới pittong khi lò xo không biến dạng, pittong không dịch chuyển là \( p = p_0 + \rho g h_0 \), vì pittong cân bằng lực với áp suất khí quyển cộng áp lực nước bên trên. Ở trạng thái cân bằng ban đầu, lực của lò xo chưa tác dụng nên: \[ p_1 = p_0 + \rho g h_0 \] - Thể tích khí ban đầu dưới pittong là: \[ V_1 = S \times h_0 = 10^{-2} \times 0.2 = 2 \times 10^{-3}\, m^3 \] - Khí là khí lí tưởng, nên áp dụng phương trình khí lí tưởng: \[ p V = n R T \] Với: - \( p = p_1 \) - \( V = V_1 \) - \( T = T_0 \) - \( n \) là số mol cần tính - \( R = 8.31\, J/(mol \cdot K) \) Tính \( p_1 \): \[ p_1 = p_0 + \rho g h_0 = 10^5 + 1000 \times 10 \times 0.2 = 10^5 + 2000 = 102000\, Pa \] Tính \( n \): \[ n = \frac{p_1 V_1}{R T_0} = \frac{102000 \times 2 \times 10^{-3}}{8.31 \times 100} = \frac{204}{831} \approx 0.2455\, mol \] --- ### b) Tính nhiệt độ cần tăng để pittong nâng lên \( x = 5cm = 0.05m \) Khi pittong nâng lên \( x \), lò xo bị nén biến dạng (giãn) nên sinh lực đàn hồi: \[ F_{lò xo} = k x = 100 \times 0.05 = 5\, N \] Áp lực của lò xo tác dụng lên pittong theo chiều lên trên nên áp suất khí bên dưới pittong phải tăng thêm để cân bằng. Ta phân tích lực cân bằng ở pittong: - Lực khí dưới pittong: \( F_k = p_2 S \) - Lực khí quyển ở trên pittong: \( p_0 S \) - Lực đàn hồi lò xo: \( F_{lò xo} = k x \) - Trọng lượng pittong và ma sát bỏ qua Lực cân bằng: \[ F_k = p_0 S + k x \Rightarrow p_2 = p_0 + \frac{k x}{S} \] Tính \( p_2 \): \[ p_2 = 10^5 + \frac{5}{10^{-2}} = 10^5 + 500 = 100500\, Pa \] Áp suất nước dưới pittong tăng thêm, nên chiều cao mực nước thay đổi. Chiều cao nước thay đổi như thế nào? Khi pittong nâng lên \( x \), cột nước trong bình thứ nhất hạ xuống \( x \), bình thứ hai tăng lên \( x \) để cân bằng, áp suất nước tác dụng ở pittong thay đổi tương ứng: Áp suất nước lúc này: \[ p_{nc} = \rho g (h_0 - x) \] Tổng áp suất khí ở trạng thái 2 là: \[ p_2 = p_0 + \rho g (h_0 - x) + \frac{k x}{S} \] Nhưng theo câu trước, \( p_2 = p_0 + \frac{k x}{S} \), nên áp suất khí bên dưới pittong cần đạt mức này để cân bằng. Thể tích khí sau nâng pittong lên \( x \): \[ V_2 = S (h_0 + x) = 10^{-2} \times (0.2 + 0.05) = 10^{-2} \times 0.25 = 2.5 \times 10^{-3} m^3 \] Áp dụng phương trình khí lí tưởng với \( n \) không đổi: \[ p_1 V_1 / T_0 = p_2 V_2 / T_2 \Rightarrow T_2 = T_0 \times \frac{p_2 V_2}{p_1 V_1} \] Thay số: \[ T_2 = 100 \times \frac{100500 \times 2.5 \times 10^{-3}}{102000 \times 2 \times 10^{-3}} = 100 \times \frac{251.25}{204} \approx 100 \times 1.232 = 123.2\, K \] Nhiệt độ cần tăng thêm là: \[ \Delta T = T_2 - T_0 = 123.2 - 100 = 23.2\, K \] --- ### Kết luận: a) Số mol khí ban đầu: \[ \boxed{n \approx 0.2455\, mol} \] b) Nhiệt độ cần tăng lên: \[ \boxed{\Delta T \approx 23.2\, K} \]