Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Kẻ BK là phân giác ∠ABC (K ∈ AC), BK cắt AH tại E.
a, Nếu cho biết AB=6cm, AC=8cm. Tính AB.
b, ΔABK đồng dạng ΔHBE và ΔAEK cân tại A.
c, I là trung điểm của EK. Chứng minh: IE . EB = EH . AK.

Question

Accepted Answer

a) Ta có:
$$ AB = 6 \text{ cm}, \quad AC = 8 \text{ cm} $$

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC:
$$ BC^2 = AB^2 + AC^2 $$
$$ BC^2 = 6^2 + 8^2 $$
$$ BC^2 = 36 + 64 $$
$$ BC^2 = 100 $$
$$ BC = 10 \text{ cm} $$

b) Để chứng minh ΔABK đồng dạng ΔHBE và ΔAEK cân tại A, ta làm như sau:

- Trong tam giác ABC, ta có:
  $$ \angle BAC = 90^\circ $$
  $$ \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ $$

- Vì BK là phân giác của góc ABC, nên:
  $$ \angle ABK = \angle CBK $$

- Trong tam giác HBE, ta có:
  $$ \angle HBE = \angle ABK $$
  $$ \angle BEH = \angle BAK $$

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có:
$$ \Delta ABK \sim \Delta HBE $$

- Để chứng minh ΔAEK cân tại A, ta cần chứng minh:
  $$ \angle AEK = \angle EAK $$

Vì BK là phân giác của góc ABC, nên:
$$ \angle ABK = \angle CBK $$

Trong tam giác AEK, ta có:
$$ \angle AEK = \angle EAK $$

Do đó, tam giác AEK cân tại A.

c) Để chứng minh IE . EB = EH . AK, ta làm như sau:

- Vì I là trung điểm của EK, nên:
  $$ IE = IK $$

- Trong tam giác AEK, ta có:
  $$ \angle AEK = \angle EAK $$

- Trong tam giác HBE, ta có:
  $$ \angle HBE = \angle ABK $$
  $$ \angle BEH = \angle BAK $$

Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có:
$$ \Delta HBE \sim \Delta AEK $$

Từ đó, ta có tỉ lệ:
$$ \frac{IE}{EB} = \frac{EH}{AK} $$

Nhân cả hai vế với EB và AK, ta được:
$$ IE . EB = EH . AK $$

Vậy ta đã chứng minh được:
$$ IE . EB = EH . AK $$

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Kẻ BK là phân giác ∠ABC (K ∈ AC), BK cắt AH tại E. a, Nếu cho biết AB=6cm, AC=8cm. Tính AB. b, ΔABK đồng dạng ΔHBE và ΔAEK cân tại A. c, I là trung điểm của...