Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH (H ∈ BC). Kẻ BK là phân giác ∠ABC (K ∈ AC), BK cắt AH tại E. a, Nếu cho biết AB=6cm, AC=8cm. Tính AB. b, ΔABK đồng dạng ΔHBE và ΔAEK cân tại A. c, I là trung điểm của...

a) Ta có: \[ AB = 6 \text{ cm}, \quad AC = 8 \text{ cm} \] Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \] \[ BC^2 = 6^2 + 8^2 \] \[ BC^2 = 36 + 64 \] \[ BC^2 = 100 \] \[ BC = 10 \text{ cm} \] b) Để chứng minh ΔABK đồng dạng ΔHBE và ΔAEK cân tại A, ta làm như sau: - Trong tam giác ABC, ta có: \[ \angle BAC = 90^\circ \] \[ \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ \] - Vì BK là phân giác của góc ABC, nên: \[ \angle ABK = \angle CBK \] - Trong tam giác HBE, ta có: \[ \angle HBE = \angle ABK \] \[ \angle BEH = \angle BAK \] Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có: \[ \Delta ABK \sim \Delta HBE \] - Để chứng minh ΔAEK cân tại A, ta cần chứng minh: \[ \angle AEK = \angle EAK \] Vì BK là phân giác của góc ABC, nên: \[ \angle ABK = \angle CBK \] Trong tam giác AEK, ta có: \[ \angle AEK = \angle EAK \] Do đó, tam giác AEK cân tại A. c) Để chứng minh IE . EB = EH . AK, ta làm như sau: - Vì I là trung điểm của EK, nên: \[ IE = IK \] - Trong tam giác AEK, ta có: \[ \angle AEK = \angle EAK \] - Trong tam giác HBE, ta có: \[ \angle HBE = \angle ABK \] \[ \angle BEH = \angle BAK \] Do đó, theo tiêu chí góc-góc, ta có: \[ \Delta HBE \sim \Delta AEK \] Từ đó, ta có tỉ lệ: \[ \frac{IE}{EB} = \frac{EH}{AK} \] Nhân cả hai vế với EB và AK, ta được: \[ IE . EB = EH . AK \] Vậy ta đã chứng minh được: \[ IE . EB = EH . AK \]