Giuiiiiiiisvsje

Câu 39. Để xác định phương trình của đường tròn, ta cần kiểm tra xem phương trình đã cho có thể viết dưới dạng tổng bình phương của hai biến \(x\) và \(y\) với cùng hệ số bậc hai là 1 hay không. Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình: 1. Phương trình \( B.~x^2 + 2y^2 - 4x - 8y - 12 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \(y^2\) là 2, không phải là 1. Do đó, phương trình này không phải là phương trình của đường tròn. 2. Phương trình \( A.~2x^2 + y^2 - 6x - 6y - 8 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \(x^2\) là 2, không phải là 1. Do đó, phương trình này không phải là phương trình của đường tròn. 3. Phương trình \( D.~2x^2 + 2y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) đều là 2, không phải là 1. Do đó, phương trình này không phải là phương trình của đường tròn. 4. Phương trình \( C.~x^2 + y^2 - 2x - 8y + 18 = 0 \): - Ta thấy rằng hệ số của \(x^2\) và \(y^2\) đều là 1. Do đó, phương trình này có thể là phương trình của đường tròn. Tiếp theo, ta sẽ hoàn thiện phương trình của đường tròn bằng cách nhóm các hạng tử liên quan và thực hiện phép hoàn chỉnh bình phương: \[ x^2 + y^2 - 2x - 8y + 18 = 0 \] Nhóm các hạng tử liên quan: \[ (x^2 - 2x) + (y^2 - 8y) = -18 \] Hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = -18 + 1 + 16 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -1 + 16 - 18 \] Do đó, phương trình của đường tròn là: \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 1 \] Tâm của đường tròn là \( (1, 4) \). Đáp án: Phương trình của đường tròn là \( (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 1 \) và tâm của đường tròn là \( (1, 4) \). Câu 40. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình đường tròn dưới dạng tổng bình phương: Ta có phương trình ban đầu: \[ x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0 \] 2. Hoàn thành bình phương cho các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\): - Với \(x\): \[ x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 \] - Với \(y\): \[ y^2 + 6y = (y + 3)^2 - 9 \] 3. Thay vào phương trình ban đầu: \[ (x + 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 - 12 = 0 \] \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 - 25 = 0 \] \[ (x + 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] 4. Nhận diện tâm và bán kính: Phương trình trên có dạng chuẩn của đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), trong đó tâm là \((a, b)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn, ta thấy: \[ a = -2, \quad b = -3, \quad R^2 = 25 \Rightarrow R = 5 \] Vậy tâm của đường tròn $(C)$ là \(I(-2, -3)\) và bán kính là 5. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{A. } I(-2, -3)} \] Câu 41. Để tìm bán kính của đường tròn từ phương trình \(x^2 + y^2 - 10y - 24 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhận thấy rằng phương trình \(x^2 + y^2 - 10y - 24 = 0\) có thể được viết lại bằng cách nhóm các hạng tử liên quan đến \(y\): \[ x^2 + (y^2 - 10y) - 24 = 0 \] 2. Hoàn chỉnh bình phương cho \(y^2 - 10y\): Để hoàn chỉnh bình phương, ta thêm và bớt cùng một số vào trong ngoặc: \[ y^2 - 10y = (y - 5)^2 - 25 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ x^2 + (y - 5)^2 - 25 - 24 = 0 \] \[ x^2 + (y - 5)^2 - 49 = 0 \] \[ x^2 + (y - 5)^2 = 49 \] 3. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình \(x^2 + (y - 5)^2 = 49\) có dạng chuẩn của phương trình đường tròn \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\), trong đó tâm của đường tròn là \((a, b)\) và bán kính là \(R\). So sánh với phương trình chuẩn, ta thấy tâm của đường tròn là \((0, 5)\) và bán kính \(R\) là: \[ R = \sqrt{49} = 7 \] Vậy bán kính của đường tròn là \(7\). Đáp án đúng là B. 7. Câu 42. Để xác định tâm và bán kính của đường tròn $(C):~(x+1)^2+(y-2)^2=9$, ta thực hiện các bước sau: 1. Nhận dạng phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm và $R$ là bán kính. 2. So sánh với phương trình đã cho: Phương trình $(C):~(x+1)^2+(y-2)^2=9$ có thể viết lại thành $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$. 3. Xác định tâm và bán kính: - Tọa độ tâm của đường tròn là $(-1, 2)$. - Bán kính của đường tròn là $3$ (vì $R^2 = 9$ nên $R = 3$). Do đó, tâm của đường tròn là $I(-1, 2)$ và bán kính là $R = 3$. Vậy đáp án đúng là: A. Tâm $I(-1;2).$ bán kính $R=3.$ Đáp án: A. Tâm $I(-1;2).$ bán kính $R=3.$ Câu 43. Để tìm tiêu cự của elip $(E):~\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ với $a^2 = 25$ và $b^2 = 9$. - Do đó, $a = 5$ và $b = 3$. 2. Tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm (c): - Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mỗi tiêu điểm là $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. - Thay các giá trị đã biết vào công thức: $c = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$. 3. Tính tiêu cự của elip: - Tiêu cự của elip là khoảng cách giữa hai tiêu điểm, tức là $2c$. - Vậy tiêu cự của elip là $2 \times 4 = 8$. Do đó, tiêu cự của elip $(E)$ là 8. Đáp án đúng là: D. 8. Câu 44. Để tìm độ dài trục lớn của elip $(E):~\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định dạng chuẩn của phương trình elip: Phương trình elip $(E)$ có dạng chuẩn là $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a > b$. So sánh với phương trình đã cho, ta nhận thấy: - $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ - $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$ 2. Xác định độ dài trục lớn: Độ dài trục lớn của elip là $2a$. Vì $a = 3$, nên độ dài trục lớn là: \[ 2a = 2 \times 3 = 6 \] 3. Kiểm tra đáp án: Các đáp án được đưa ra là: - $A.~A_1A_2-4$ - $\textcircled{B.}~A_1A_2-6$ - $C.~A_1A_2-8$ - $D.~A_1A_2=10$ Trong đó, $A_1A_2$ chính là độ dài trục lớn của elip. Ta thấy rằng độ dài trục lớn là 6, do đó đáp án đúng là: \[ A_1A_2 = 6 \] Vậy đáp án đúng là $\textcircled{B.}~A_1A_2-6$. Câu 45. Để tìm độ dài trục nhỏ của elip $(E):~\frac{x^2}9+\frac{y^2}4=1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của elip: - Elip có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$. - So sánh với phương trình đã cho $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$, ta nhận thấy: - $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ - $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$ 2. Xác định độ dài trục nhỏ: - Độ dài trục nhỏ của elip là $2b$. - Với $b = 2$, ta có độ dài trục nhỏ là $2 \times 2 = 4$. 3. Kiểm tra đáp án: - Đáp án đúng là $(D)~B_1B_2-4$. Vậy độ dài trục nhỏ của elip $(E)$ là $4$. Câu 46. Elip $(E)$ có dạng $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 9$ và $b^2 = 4$. Do đó, ta có: \[ a = 3 \quad \text{và} \quad b = 2 \] Tiêu cự của elip được tính bằng công thức: \[ F_1F_2 = 2c \] Trong đó, $c$ là khoảng cách từ tâm elip đến mỗi tiêu điểm và được tính bằng: \[ c = \sqrt{a^2 - b^2} \] Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức: \[ c = \sqrt{3^2 - 2^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \] Do đó, tiêu cự của elip là: \[ F_1F_2 = 2c = 2\sqrt{5} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~F_1F_2 = 2\sqrt{5} \] Câu 1. a) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $AB(2;5)$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - (-2); 4 - 2) = (5; 2) \] Do đó, câu a sai vì vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là $(5; 2)$, không phải $(2; 5)$. b) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là $2x - 5y + 14 = 0$ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A(-2; 2)$ và $B(3; 4)$ có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] Trong đó, $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - 2}{3 - (-2)} = \frac{2}{5}$ Thay vào ta có: \[ y - 2 = \frac{2}{5}(x + 2) \] Nhân cả hai vế với 5 để loại bỏ mẫu số: \[ 5(y - 2) = 2(x + 2) \] \[ 5y - 10 = 2x + 4 \] \[ 2x - 5y + 14 = 0 \] Do đó, câu b đúng. c) Đường thẳng AB cắt đường thẳng $\Delta: 3x - 4y - 1 = 0$ Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không, ta giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 5y + 14 = 0 \\ 3x - 4y - 1 = 0 \end{array} \right. \] Ta nhân phương trình thứ nhất với 3 và phương trình thứ hai với 2 để dễ dàng trừ hai phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 6x - 15y + 42 = 0 \\ 6x - 8y - 2 = 0 \end{array} \right. \] Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất: \[ (6x - 15y + 42) - (6x - 8y - 2) = 0 \] \[ -7y + 44 = 0 \] \[ y = \frac{44}{7} \] Thay $y = \frac{44}{7}$ vào phương trình $2x - 5y + 14 = 0$: \[ 2x - 5 \left(\frac{44}{7}\right) + 14 = 0 \] \[ 2x - \frac{220}{7} + 14 = 0 \] \[ 2x - \frac{220}{7} + \frac{98}{7} = 0 \] \[ 2x - \frac{122}{7} = 0 \] \[ 2x = \frac{122}{7} \] \[ x = \frac{61}{7} \] Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $\left(\frac{61}{7}; \frac{44}{7}\right)$. Do đó, câu c đúng. d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M(-1; 1)$ và song song với AB là $\left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 1 + 5t \end{array} \right.$ Đường thẳng song song với AB sẽ có cùng vectơ chỉ phương $(5; 2)$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(-1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $(5; 2)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 5t \\ y = 1 + 2t \end{array} \right. \] Do đó, câu d sai vì phương trình tham số đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 5t \\ y = 1 + 2t \end{array} \right. \] Kết luận: - Câu a sai. - Câu b đúng. - Câu c đúng. - Câu d sai. Câu 2. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 3, 2 + 1) = (-6, 3) \] b) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\) có dạng: \[ (y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1) \] Áp dụng vào điểm \(A(3, -1)\) và \(B(-3, 2)\): \[ (y + 1)(-3 - 3) = (x - 3)(2 + 1) \] \[ (y + 1)(-6) = (x - 3)(3) \] \[ -6(y + 1) = 3(x - 3) \] \[ -6y - 6 = 3x - 9 \] \[ 3x + 6y - 3 = 0 \] \[ x + 2y - 1 = 0 \] c) Kiểm tra xem đường thẳng AB có vuông góc với đường thẳng \(\Delta: x + 2y - 3 = 0\) hay không Hai đường thẳng vuông góc nếu tích của các hệ số góc của chúng bằng -1. Ta viết lại phương trình tổng quát của AB: \[ x + 2y - 1 = 0 \] Phương trình tổng quát của \(\Delta\) là: \[ x + 2y - 3 = 0 \] Hệ số góc của đường thẳng \(x + 2y - 1 = 0\) là \(-\frac{1}{2}\). Hệ số góc của đường thẳng \(x + 2y - 3 = 0\) cũng là \(-\frac{1}{2}\). Vì cả hai đường thẳng có cùng hệ số góc, nên chúng không vuông góc với nhau. d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M(-1, 1)\) và song song với AB Đường thẳng song song với AB sẽ có cùng vectơ chỉ phương \((-6, 3)\). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(-1, 1)\) và có vectơ chỉ phương \((-6, 3)\) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 6t \\ y = 1 + 3t \end{array} \right. \] Kết luận - Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là \(\overrightarrow{AB} = (-6, 3)\). - Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là \(x + 2y - 1 = 0\). - Đường thẳng AB không vuông góc với đường thẳng \(\Delta: x + 2y - 3 = 0\). - Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(M(-1, 1)\) và song song với AB là \(\left\{ \begin{array}{l} x = -1 - 6t \\ y = 1 + 3t \end{array} \right.\). Câu 3: Để giải quyết các câu hỏi về tam giác DEF với các đỉnh D(1;-1), E(2;1), F(3;5), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần của câu hỏi. a) Đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận $\overrightarrow{EF}$ là một vectơ chỉ phương Đầu tiên, ta tìm vectơ $\overrightarrow{EF}$: \[ \overrightarrow{EF} = (3 - 2, 5 - 1) = (1, 4) \] Một đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF sẽ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n} = (4, -1)$ (vì tích vô hướng của hai vectơ này là 0). b) Phương trình đường cao kẻ từ D là: $x + y = 0$ Đường cao kẻ từ D đến EF sẽ vuông góc với EF. Ta đã biết vectơ pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với EF là $\overrightarrow{n} = (4, -1)$. Phương trình đường thẳng đi qua điểm D(1, -1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (4, -1)$ là: \[ 4(x - 1) - 1(y + 1) = 0 \implies 4x - 4 - y - 1 = 0 \implies 4x - y - 5 = 0 \] Như vậy, phương trình đường cao kẻ từ D không phải là $x + y = 0$, mà là $4x - y - 5 = 0$. c) Gọi I là trung điểm của DF. Tọa độ của điểm I là (2;2) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng DF được tính như sau: \[ I = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{-1+5}{2} \right) = (2, 2) \] Vậy tọa độ của điểm I là (2, 2). d) Đường trung tuyến kẻ từ E có phương trình là: $x - 2 = 0$ Đường trung tuyến kẻ từ E đến trung điểm của DF (điểm I) sẽ đi qua hai điểm E(2, 1) và I(2, 2). Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này là: \[ x = 2 \] Vậy phương trình đường trung tuyến kẻ từ E là $x - 2 = 0$. Kết luận - a) Đúng, đường thẳng vuông góc với đường thẳng EF nhận $\overrightarrow{EF}$ là một vectơ chỉ phương. - b) Sai, phương trình đường cao kẻ từ D là $4x - y - 5 = 0$. - c) Đúng, tọa độ của điểm I là (2, 2). - d) Đúng, phương trình đường trung tuyến kẻ từ E là $x - 2 = 0$. Câu 4: Để tìm tọa độ điểm B, ta cần xác định giao điểm của đường thẳng BC và đường cao kẻ từ C. Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng BC và đường cao kẻ từ C. Phương trình đường thẳng BC: \(7x + 5y - 8 = 0\) Phương trình đường cao kẻ từ C: \(x + y - 2 = 0\) Bước 2: Giải hệ phương trình để tìm giao điểm của hai đường thẳng này. \[ \begin{cases} 7x + 5y - 8 = 0 \\ x + y - 2 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ y = 2 - x \] Thay \( y = 2 - x \) vào phương trình thứ nhất: \[ 7x + 5(2 - x) - 8 = 0 \] \[ 7x + 10 - 5x - 8 = 0 \] \[ 2x + 2 = 0 \] \[ 2x = -2 \] \[ x = -1 \] Thay \( x = -1 \) vào \( y = 2 - x \): \[ y = 2 - (-1) \] \[ y = 3 \] Vậy giao điểm của đường thẳng BC và đường cao kẻ từ C là \((-1, 3)\). Điểm này là điểm C. Bước 3: Xác định phương trình đường cao kẻ từ B. Phương trình đường cao kẻ từ B: \(9x - 3y - 4 = 0\) Bước 4: Tìm giao điểm của đường thẳng BC và đường cao kẻ từ B. \[ \begin{cases} 7x + 5y - 8 = 0 \\ 9x - 3y - 4 = 0 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[ 9x - 3y - 4 = 0 \] \[ 3y = 9x - 4 \] \[ y = 3x - \frac{4}{3} \] Thay \( y = 3x - \frac{4}{3} \) vào phương trình thứ nhất: \[ 7x + 5(3x - \frac{4}{3}) - 8 = 0 \] \[ 7x + 15x - \frac{20}{3} - 8 = 0 \] \[ 22x - \frac{20}{3} - 8 = 0 \] \[ 22x - \frac{20}{3} - \frac{24}{3} = 0 \] \[ 22x - \frac{44}{3} = 0 \] \[ 22x = \frac{44}{3} \] \[ x = \frac{2}{3} \] Thay \( x = \frac{2}{3} \) vào \( y = 3x - \frac{4}{3} \): \[ y = 3(\frac{2}{3}) - \frac{4}{3} \] \[ y = 2 - \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} \] \[ y = \frac{2}{3} \] Vậy giao điểm của đường thẳng BC và đường cao kẻ từ B là \((2, 2)\). Điểm này là điểm B. Do đó, điểm B có tọa độ là \((2, 2)\). Đáp số: Điểm B có tọa độ là \((2, 2)\).