Hdndbdndbzbs

Trước tiên, ta cần tìm độ dài cạnh của tam giác đều A'NC. Diện tích của tam giác đều A'NC là $6\sqrt{3}a^2$. Ta biết rằng diện tích của tam giác đều là $\frac{\sqrt{3}}{4} s^2$, trong đó $s$ là độ dài cạnh của tam giác đều. Do đó, ta có: \[ \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = 6\sqrt{3}a^2 \] \[ s^2 = 24a^2 \] \[ s = 2\sqrt{6}a \] Vì tam giác A'NC đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, nên độ dài cạnh A'N chính là chiều cao của lăng trụ. Độ dài cạnh A'N cũng là $2\sqrt{6}a$. Tiếp theo, ta cần tìm diện tích đáy của lăng trụ. Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A và $\widehat{ABC} = 60^\circ$, nên $\widehat{BAC} = 30^\circ$. Điều này có nghĩa là tam giác ABC là tam giác vuông cân với các cạnh góc vuông là AB và AC, và cạnh huyền là BC. Gọi độ dài cạnh AB là $x$. Vì N là trung điểm của AB, nên AN = NB = $\frac{x}{2}$. Độ dài cạnh AC sẽ là $x \cdot \tan(30^\circ) = \frac{x}{\sqrt{3}}$. Diện tích đáy của lăng trụ là: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \frac{x}{\sqrt{3}} = \frac{x^2}{2\sqrt{3}} \] Thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = S_{ABC} \cdot A'N = \frac{x^2}{2\sqrt{3}} \cdot 2\sqrt{6}a = \frac{x^2 \cdot 2\sqrt{6}a}{2\sqrt{3}} = x^2 \cdot \sqrt{2}a \] Ta biết rằng thể tích của khối lăng trụ là $\frac{144\sqrt{6}}{13}a^3$. Do đó, ta có: \[ x^2 \cdot \sqrt{2}a = \frac{144\sqrt{6}}{13}a^3 \] \[ x^2 = \frac{144\sqrt{6}}{13\sqrt{2}a^2} = \frac{144\sqrt{3}}{13}a^2 \] \[ x = \frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt{13}}a \] Do đó, diện tích đáy của lăng trụ là: \[ S_{ABC} = \frac{x^2}{2\sqrt{3}} = \frac{\left(\frac{12\sqrt[4]{3}}{\sqrt{13}}a\right)^2}{2\sqrt{3}} = \frac{\frac{144\sqrt{3}}{13}a^2}{2\sqrt{3}} = \frac{72}{13}a^2 \] Vậy thể tích của khối lăng trụ là: \[ V = \frac{72}{13}a^2 \cdot 2\sqrt{6}a = \frac{144\sqrt{6}}{13}a^3 \] Đáp án đúng là: $OV = \frac{144\sqrt{6}}{13}a^3$.