gagagahayayayyayaya

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu: a) Kiểm tra xem đường thẳng \( d \) có đi qua điểm \( M(-1; 4; 4) \) hay không. Phương trình của đường thẳng \( d \) là: \[ d: \frac{x-1}{3} = \frac{y+4}{-2} = \frac{z+4}{1} \] Ta thay tọa độ của điểm \( M(-1; 4; 4) \) vào phương trình của đường thẳng \( d \): \[ \frac{-1 - 1}{3} = \frac{4 + 4}{-2} = \frac{4 + 4}{1} \] \[ \frac{-2}{3} = \frac{8}{-2} = \frac{8}{1} \] \[ \frac{-2}{3} = -4 = 8 \] Như vậy, các giá trị không bằng nhau, do đó đường thẳng \( d \) không đi qua điểm \( M(-1; 4; 4) \). b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \( d \) và \( d' \). Phương trình của đường thẳng \( d' \) là: \[ d': \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - t \\ y = -2 + 4t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] Ta đặt \( \frac{x-1}{3} = \frac{y+4}{-2} = \frac{z+4}{1} = k \), suy ra: \[ x = 3k + 1 \] \[ y = -2k - 4 \] \[ z = k - 4 \] Bây giờ, ta thay \( x, y, z \) từ phương trình của \( d' \) vào phương trình của \( d \): \[ 3k + 1 = 3 - t \] \[ -2k - 4 = -2 + 4t \] \[ k - 4 = -1 + 2t \] Giải hệ phương trình này: \[ 3k + 1 = 3 - t \Rightarrow t = 2 - 3k \] \[ -2k - 4 = -2 + 4t \Rightarrow -2k - 4 = -2 + 4(2 - 3k) \] \[ -2k - 4 = -2 + 8 - 12k \] \[ -2k - 4 = 6 - 12k \] \[ 10k = 10 \] \[ k = 1 \] Thay \( k = 1 \) vào phương trình của \( d \): \[ x = 3(1) + 1 = 4 \] \[ y = -2(1) - 4 = -6 \] \[ z = 1 - 4 = -3 \] Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ \( (4, -6, -3) \). c) Tính góc giữa hai đường thẳng \( d \) và \( d' \). Phương hướng của đường thẳng \( d \) là \( \vec{u} = (3, -2, 1) \). Phương hướng của đường thẳng \( d' \) là \( \vec{v} = (-1, 4, 2) \). Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \] Tích vô hướng: \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 3(-1) + (-2)(4) + 1(2) = -3 - 8 + 2 = -9 \] Độ dài của các vectơ: \[ |\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14} \] \[ |\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \] Do đó: \[ \cos \theta = \frac{-9}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{21}} = \frac{-9}{\sqrt{294}} \approx -0.54 \] Góc \( \theta \) là: \[ \theta = \cos^{-1}(-0.54) \approx 122.7^\circ \] Vì \( 122.7^\circ > 60^\circ \), nên hai con đường tạo với nhau một góc lớn hơn \( 60^\circ \). d) Xác định phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \( d \) và \( d' \). Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) có dạng: \[ ax + by + cz + d = 0 \] Ta biết rằng mặt phẳng này chứa điểm \( (4, -6, -3) \) và vuông góc với cả hai vectơ \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là: \[ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(2) - (1)(4)) - \mathbf{j}((3)(2) - (1)(-1)) + \mathbf{k}((3)(4) - (-2)(-1)) \] \[ = \mathbf{i}(-4 - 4) - \mathbf{j}(6 + 1) + \mathbf{k}(12 - 2) \] \[ = -8\mathbf{i} - 7\mathbf{j} + 10\mathbf{k} \] Do đó, phương trình mặt phẳng là: \[ -8(x - 4) - 7(y + 6) + 10(z + 3) = 0 \] \[ -8x + 32 - 7y - 42 + 10z + 30 = 0 \] \[ -8x - 7y + 10z + 20 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng \( d \) và \( d' \) là: \[ 8x + 7y - 10z + 20 = 0 \]