cuuuuuyyyyyyyyyyyyyy

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = x^2 - 3x + \frac{1}{x} \), ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi thành phần trong biểu thức. 1. Tính nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của \( -3x \): \[ \int -3x \, dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = -\frac{3x^2}{2} + C_2 \] 3. Tính nguyên hàm của \( \frac{1}{x} \): \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int \left( x^2 - 3x + \frac{1}{x} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \), \( C_2 \), và \( C_3 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~F(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + \ln |x| + C \] Câu 2. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$, ta cần sử dụng công thức tích phân để tính diện tích dưới đồ thị hàm số. Công thức chính xác để tính diện tích S là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do: - Khi tính diện tích giữa đồ thị hàm số và trục hoành, ta cần đảm bảo rằng diện tích luôn là một giá trị dương, bất kể hàm số có giá trị âm hay dương trong khoảng [a, b]. - Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ có thể cho kết quả âm nếu $f(x)$ có giá trị âm trong một phần của khoảng [a, b], do đó ta cần lấy giá trị tuyệt đối của $f(x)$ để đảm bảo diện tích luôn dương. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Câu 3. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu thống kê, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Q1 là giá trị chia dãy số thành hai phần, trong đó 25% dữ liệu nằm dưới Q1. - Số lượng dữ liệu là 50, do đó vị trí của Q1 là $\frac{50 + 1}{4} = 12,75$. - Điều này có nghĩa là Q1 nằm trong khoảng thứ hai ([290; 330)). 2. Tính Q1: - Dãy dữ liệu từ [290; 330) có 13 quả xoài. - Vị trí của Q1 trong khoảng này là $12,75 - 3 = 9,75$. - Do đó, Q1 sẽ là giá trị ở vị trí thứ 9,75 trong khoảng này. - Ta có thể tính Q1 bằng công thức: \[ Q1 = 290 + \left( \frac{9,75}{13} \right) \times 40 = 290 + 29,54 = 319,54 \] 3. Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Q3 là giá trị chia dãy số thành hai phần, trong đó 75% dữ liệu nằm dưới Q3. - Vị trí của Q3 là $\frac{3 \times (50 + 1)}{4} = 38,25$. - Điều này có nghĩa là Q3 nằm trong khoảng thứ tư ([370; 410]). 4. Tính Q3: - Dãy dữ liệu từ [370; 410] có 11 quả xoài. - Vị trí của Q3 trong khoảng này là $38,25 - (3 + 13 + 18) = 38,25 - 34 = 4,25$. - Do đó, Q3 sẽ là giá trị ở vị trí thứ 4,25 trong khoảng này. - Ta có thể tính Q3 bằng công thức: \[ Q3 = 370 + \left( \frac{4,25}{11} \right) \times 40 = 370 + 15,27 = 385,27 \] 5. Tính khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị là Q3 - Q1. - \[ Khoảng tứ phân vị = 385,27 - 319,54 = 65,73 \] Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu thống kê trên là 65,73. Đáp án đúng là D. 65,43 (với sự sai số nhỏ do làm tròn). Câu 4. Để kiểm tra đường thẳng $d: \frac{x-3}{1} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-1}{2}$ đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ thay tọa độ của mỗi điểm vào phương trình đường thẳng và kiểm tra xem chúng có thỏa mãn phương trình đó hay không. Kiểm tra điểm $M(3; -2; 1)$: - Thay $x = 3$, $y = -2$, $z = 1$ vào phương trình: \[ \frac{3-3}{1} = \frac{-2+2}{3} = \frac{1-1}{2} \] \[ \frac{0}{1} = \frac{0}{3} = \frac{0}{2} \] \[ 0 = 0 = 0 \] Điều này đúng, vậy điểm $M(3; -2; 1)$ nằm trên đường thẳng $d$. Kiểm tra điểm $M(-3; 2; -1)$: - Thay $x = -3$, $y = 2$, $z = -1$ vào phương trình: \[ \frac{-3-3}{1} = \frac{2+2}{3} = \frac{-1-1}{2} \] \[ \frac{-6}{1} = \frac{4}{3} = \frac{-2}{2} \] \[ -6 \neq \frac{4}{3} \neq -1 \] Điều này sai, vậy điểm $M(-3; 2; -1)$ không nằm trên đường thẳng $d$. Kiểm tra điểm $M(1; 3; 2)$: - Thay $x = 1$, $y = 3$, $z = 2$ vào phương trình: \[ \frac{1-3}{1} = \frac{3+2}{3} = \frac{2-1}{2} \] \[ \frac{-2}{1} = \frac{5}{3} = \frac{1}{2} \] \[ -2 \neq \frac{5}{3} \neq \frac{1}{2} \] Điều này sai, vậy điểm $M(1; 3; 2)$ không nằm trên đường thẳng $d$. Kiểm tra điểm $M(2; -5; 2)$: - Thay $x = 2$, $y = -5$, $z = 2$ vào phương trình: \[ \frac{2-3}{1} = \frac{-5+2}{3} = \frac{2-1}{2} \] \[ \frac{-1}{1} = \frac{-3}{3} = \frac{1}{2} \] \[ -1 \neq -1 \neq \frac{1}{2} \] Điều này sai, vậy điểm $M(2; -5; 2)$ không nằm trên đường thẳng $d$. Từ các phép tính trên, ta thấy chỉ có điểm $M(3; -2; 1)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $d$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~M(3; -2; 1)} \] Câu 5. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các tính chất của đồ thị không. 1. Kiểm tra điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị đi qua điểm $(0, 2)$. - Đồ thị có tiệm cận đứng tại $x = 1$. - Đồ thị có tiệm cận ngang tại $y = -1$. 2. Kiểm tra từng hàm số: Hàm số A: $y = \frac{x-2}{x-1}$ - Điểm $(0, 2)$: Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{0-2}{0-1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Đúng, đồ thị đi qua điểm $(0, 2)$. - Tiệm cận đứng: Khi $x = 1$, mẫu số bằng 0, nên có tiệm cận đứng tại $x = 1$. - Tiệm cận ngang: Khi $x$ tiến đến vô cùng, ta có: \[ y = \frac{x-2}{x-1} \approx \frac{x}{x} = 1 \] Tiệm cận ngang là $y = 1$, không đúng với đồ thị. Hàm số B: $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x-1}$ - Điểm $(0, 2)$: Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 - 2}{0-1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Đúng, đồ thị đi qua điểm $(0, 2)$. - Tiệm cận đứng: Khi $x = 1$, mẫu số bằng 0, nên có tiệm cận đứng tại $x = 1$. - Tiệm cận ngang: Khi $x$ tiến đến vô cùng, ta có: \[ y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x-1} \approx \frac{x^2}{x} = x \] Không có tiệm cận ngang, không đúng với đồ thị. Hàm số C: $y = \frac{-x^2 + 2x - 2}{x-1}$ - Điểm $(0, 2)$: Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{-0^2 + 2 \cdot 0 - 2}{0-1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Đúng, đồ thị đi qua điểm $(0, 2)$. - Tiệm cận đứng: Khi $x = 1$, mẫu số bằng 0, nên có tiệm cận đứng tại $x = 1$. - Tiệm cận ngang: Khi $x$ tiến đến vô cùng, ta có: \[ y = \frac{-x^2 + 2x - 2}{x-1} \approx \frac{-x^2}{x} = -x \] Không có tiệm cận ngang, không đúng với đồ thị. Hàm số D: $y = \frac{-x^2 + x - 2}{x-1}$ - Điểm $(0, 2)$: Thay $x = 0$ vào hàm số: \[ y = \frac{-0^2 + 0 - 2}{0-1} = \frac{-2}{-1} = 2 \] Đúng, đồ thị đi qua điểm $(0, 2)$. - Tiệm cận đứng: Khi $x = 1$, mẫu số bằng 0, nên có tiệm cận đứng tại $x = 1$. - Tiệm cận ngang: Khi $x$ tiến đến vô cùng, ta có: \[ y = \frac{-x^2 + x - 2}{x-1} \approx \frac{-x^2}{x} = -x \] Không có tiệm cận ngang, không đúng với đồ thị. Từ các kiểm tra trên, chỉ có hàm số B thỏa mãn tất cả các điều kiện của đồ thị. Đáp án: B. $y = \frac{x^2 + 2x - 2}{x-1}$. Câu 6. Để giải bất phương trình \(2^{x-1} > \frac{5}{2}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định: Bất phương trình này không yêu cầu điều kiện xác định cụ thể vì \(2^{x-1}\) luôn dương với mọi \(x\). 2. Chuyển vế và biến đổi: \[ 2^{x-1} > \frac{5}{2} \] 3. Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số: \[ 2 \cdot 2^{x-1} > 2 \cdot \frac{5}{2} \] \[ 2^x > 5 \] 4. Lấy logarit cơ số 2 của cả hai vế: \[ \log_2(2^x) > \log_2(5) \] \[ x > \log_2(5) \] Vậy nghiệm của bất phương trình \(2^{x-1} > \frac{5}{2}\) là \(x > \log_2(5)\). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~x > \log_2(5). \] Câu 7. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(2;1;0) \) và có vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (3; -1; -1) \) được viết dưới dạng: \[ 3(x - 2) - 1(y - 1) - 1(z - 0) = 0 \] Ta thực hiện phép nhân và giản ước: \[ 3x - 6 - y + 1 - z = 0 \] \[ 3x - y - z - 5 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 3x - y - z - 5 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: B. \( 3x - y - z - 5 = 0 \). Câu 8. Trước tiên, ta xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD). - Vì SA vuông góc với đáy (ABCD), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, SA vuông góc với CD, SA vuông góc với AD và SA vuông góc với BD. - Xét hình vuông ABCD: + CD vuông góc với AD (do ABCD là hình vuông). + AD vuông góc với BD (do ABCD là hình vuông). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng phát biểu: A. AC ⊥ (SBD): - Để AC vuông góc với (SBD), AC phải vuông góc với hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng (SBD). Tuy nhiên, AC không vuông góc với BD (vì AC và BD là hai đường chéo của hình vuông ABCD, chúng cắt nhau tại tâm O và tạo thành các góc 45°). Do đó, phát biểu này sai. B. CD ⊥ (SAD): - Để CD vuông góc với (SAD), CD phải vuông góc với SA và AD. Ta đã biết SA vuông góc với CD và CD vuông góc với AD. Do đó, CD vuông góc với (SAD). Phát biểu này đúng. C. BD ⊥ (SAB): - Để BD vuông góc với (SAB), BD phải vuông góc với SA và AB. Ta đã biết SA vuông góc với BD, nhưng BD không vuông góc với AB (vì AB và BD là hai cạnh của hình vuông ABCD, chúng tạo thành góc 90°). Do đó, phát biểu này sai. D. AD ⊥ (SCD): - Để AD vuông góc với (SCD), AD phải vuông góc với SC và CD. Ta đã biết AD vuông góc với CD, nhưng AD không vuông góc với SC (vì SC là đường thẳng nối đỉnh S với điểm C trên đáy, không vuông góc với AD). Do đó, phát biểu này sai. Vậy phát biểu đúng là B. CD ⊥ (SAD). Đáp án: B. CD ⊥ (SAD).