trắc nghiệm đúng sai

Câu 1: Để giải quyết các nhận xét, ta cần phân tích từng trường hợp của hàm số \( y = f(x) = \frac{x^2 - 2x + m}{x + 1} \). Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x \neq -1 \). a) Khi \( m = -2 \), hàm số đồng biến trên khoảng \((-1; +\infty)\). Ta có hàm số: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{x + 1} \] Tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{(2x - 2)(x + 1) - (x^2 - 2x - 2)}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 + 2x - 2x - 2 - x^2 + 2x + 2}{(x + 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 + 4x}{(x + 1)^2} \] Xét dấu của \( f'(x) \) trên khoảng \((-1; +\infty)\): - \( f'(x) = \frac{x(x + 4)}{(x + 1)^2} \) Trên khoảng \((-1; +\infty)\), \( (x + 1)^2 > 0 \). - \( x(x + 4) > 0 \) khi \( x > 0 \) hoặc \( x < -4 \). Vậy hàm số không đồng biến trên toàn bộ khoảng \((-1; +\infty)\). Nhận xét a) sai. b) Khi \( m = -4, \min_{[2;10]}f(x) = f(10) \). Ta có hàm số: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2x - 4}{x + 1} \] Tính giá trị tại các điểm biên và xét dấu đạo hàm: - \( f(2) = \frac{4 - 4 - 4}{3} = -\frac{4}{3} \) - \( f(10) = \frac{100 - 20 - 4}{11} = \frac{76}{11} \) Tính đạo hàm: \[ f'(x) = \frac{x^2 + 4x}{(x + 1)^2} \] Xét dấu của \( f'(x) \) trên \([2; 10]\): - \( f'(x) > 0 \) khi \( x > 0 \). Vậy hàm số đồng biến trên \([2; 10]\), do đó \(\min_{[2;10]}f(x) = f(2)\). Nhận xét b) sai. c) Khi \( m = 0 \), đồ thị hàm số có tâm đối xứng là \( I(-1; -4) \). Ta có hàm số: \[ f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x + 1} \] Tính giá trị tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = \frac{1 + 2}{0} \] (không xác định) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và ngang. Tiệm cận đứng: \( x = -1 \), tiệm cận ngang: \( y = 1 \). Nhận xét c) sai. d) Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì điều kiện của tham số \( m \) là \( m > -3 \). Điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị là đạo hàm bậc hai phải có hai nghiệm phân biệt: \[ f'(x) = \frac{x^2 + 4x}{(x + 1)^2} \] Giải phương trình \( x^2 + 4x = 0 \): \[ x(x + 4) = 0 \] Hai nghiệm là \( x = 0 \) và \( x = -4 \). Để hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành, giá trị của hàm số tại hai điểm cực trị phải có dấu khác nhau: - \( f(0) = \frac{0 - 0 + m}{1} = m \) - \( f(-4) = \frac{16 + 8 + m}{-3} = -\frac{24 + m}{3} \) Để \( m \) và \(-\frac{24 + m}{3}\) có dấu khác nhau: \[ m > 0 \quad \text{và} \quad 24 + m < 0 \] Giải bất phương trình: \[ m > 0 \quad \text{và} \quad m < -24 \] Nhận xét d) sai. Điều kiện đúng là \( m < -24 \).