dkdkjdndbd

Câu 2. Để cây đèn chiếu sáng toàn bộ công viên, điểm đặt cây đèn phải nằm trong tam giác ABC. Ta sẽ tìm tọa độ của điểm I sao cho nó nằm trong tam giác ABC và tính \(x + y\). Trước tiên, ta xác định các cạnh của tam giác ABC: - Cạnh AB có phương trình: \(y = -\frac{3}{4}x + 3\) - Cạnh BC có phương trình: \(y = x + 3\) - Cạnh AC có phương trình: \(y = x\) Ta chọn điểm I nằm trong tam giác ABC, ví dụ ta chọn điểm I là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác ABC. Các đường trung tuyến của tam giác ABC sẽ chia tam giác thành 6 tam giác nhỏ bằng nhau. Điểm I sẽ là trọng tâm của tam giác ABC, có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ các đỉnh A, B, C: \[ I = \left( \frac{0 + 4 + 4}{3}, \frac{3 + 0 + 7}{3} \right) = \left( \frac{8}{3}, \frac{10}{3} \right) \] Vậy tọa độ của điểm I là \(\left( \frac{8}{3}, \frac{10}{3} \right)\). Tính \(x + y\): \[ x + y = \frac{8}{3} + \frac{10}{3} = \frac{18}{3} = 6 \] Đáp số: \(x + y = 6\) Câu 3. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính số cách chọn được 2 viên bi có cùng màu từ hộp đựng 10 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ và 3 viên bi màu xanh. Bước 1: Tính số cách chọn 2 viên bi màu đỏ - Số cách chọn 2 viên bi từ 7 viên bi màu đỏ là: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \] Bước 2: Tính số cách chọn 2 viên bi màu xanh - Số cách chọn 2 viên bi từ 3 viên bi màu xanh là: \[ C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3 \] Bước 3: Tổng số cách chọn 2 viên bi có cùng màu - Tổng số cách chọn 2 viên bi có cùng màu là tổng của số cách chọn 2 viên bi màu đỏ và số cách chọn 2 viên bi màu xanh: \[ 21 + 3 = 24 \] Vậy, có 24 cách để chọn được 2 viên bi có cùng màu từ hộp trên. Câu 4. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(2;0) \) và \( B(0;3) \), ta sử dụng công thức tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \) là: \[ \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \] Áp dụng vào hai điểm \( A(2;0) \) và \( B(0;3) \): \[ \frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 2}{0 - 2} \] \[ \frac{y}{3} = \frac{x - 2}{-2} \] \[ \frac{y}{3} = -\frac{x - 2}{2} \] \[ \frac{y}{3} = -\frac{x}{2} + 1 \] Nhân cả hai vế với 6 để loại bỏ mẫu số: \[ 2y = -3x + 6 \] \[ 3x + 2y - 6 = 0 \] So sánh với phương trình \( 3x + by + c = 0 \), ta nhận thấy: \[ b = 2 \] \[ c = -6 \] Giá trị biểu thức \( T = b + 2c \) là: \[ T = 2 + 2(-6) \] \[ T = 2 - 12 \] \[ T = -10 \] Đáp số: \( T = -10 \) Câu 1 Để tính xác suất để 2 viên bi lấy được từ hộp thứ 2 là 2 viên bi trắng, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất để lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ 1: - Số viên bi trắng trong hộp thứ 1 là 5. - Tổng số viên bi trong hộp thứ 1 là 9. - Xác suất để lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ 1 là: \[ P(\text{bi trắng từ hộp thứ 1}) = \frac{5}{9} \] 2. Tính xác suất để lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ 1: - Số viên bi xanh trong hộp thứ 1 là 4. - Tổng số viên bi trong hộp thứ 1 là 9. - Xác suất để lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ 1 là: \[ P(\text{bi xanh từ hộp thứ 1}) = \frac{4}{9} \] 3. Xét trường hợp lấy được 1 viên bi trắng từ hộp thứ 1: - Khi đó hộp thứ 2 sẽ có 8 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. - Tổng số viên bi trong hộp thứ 2 là 13. - Xác suất để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp thứ 2 là: \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi trắng từ hộp thứ 1}) = \frac{\binom{8}{2}}{\binom{13}{2}} = \frac{\frac{8 \times 7}{2 \times 1}}{\frac{13 \times 12}{2 \times 1}} = \frac{28}{78} = \frac{14}{39} \] 4. Xét trường hợp lấy được 1 viên bi xanh từ hộp thứ 1: - Khi đó hộp thứ 2 sẽ có 7 viên bi trắng và 6 viên bi xanh. - Tổng số viên bi trong hộp thứ 2 là 13. - Xác suất để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp thứ 2 là: \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi xanh từ hộp thứ 1}) = \frac{\binom{7}{2}}{\binom{13}{2}} = \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{13 \times 12}{2 \times 1}} = \frac{21}{78} = \frac{7}{26} \] 5. Tính tổng xác suất: - Xác suất tổng cộng để lấy được 2 viên bi trắng từ hộp thứ 2 là: \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = P(\text{bi trắng từ hộp thứ 1}) \times P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi trắng từ hộp thứ 1}) + P(\text{bi xanh từ hộp thứ 1}) \times P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2} | \text{bi xanh từ hộp thứ 1}) \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{5}{9} \times \frac{14}{39} + \frac{4}{9} \times \frac{7}{26} \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{5 \times 14}{9 \times 39} + \frac{4 \times 7}{9 \times 26} \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{70}{351} + \frac{28}{234} \] \[ P(\text{2 bi trắng từ hộp thứ 2}) = \frac{70}{351} + \frac{28 \times 3}{234 \times 3} = \frac{70}{351} + \frac{84}{351} = \frac{154}{351} \] Vậy xác suất để 2 viên bi lấy được từ hộp thứ 2 là 2 viên bi trắng là $\frac{154}{351}$. Câu 2 Để xác định dấu của \(a\) và \(\Delta\), chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c\). 1. Xác định dấu của \(a\): - Nếu parabol mở lên (đỉnh hướng xuống dưới), thì \(a > 0\). - Nếu parabol mở xuống (đỉnh hướng lên trên), thì \(a < 0\). Trong hình vẽ, ta thấy đỉnh của parabol hướng lên trên, tức là parabol mở xuống. Do đó, \(a < 0\). 2. Xác định dấu của \(\Delta\): - Nếu parabol cắt trục hoành tại hai điểm khác nhau, thì \(\Delta > 0\). - Nếu parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm duy nhất, thì \(\Delta = 0\). - Nếu parabol không cắt trục hoành, thì \(\Delta < 0\). Trong hình vẽ, ta thấy parabol không cắt trục hoành ở bất kỳ điểm nào. Do đó, \(\Delta < 0\). Kết luận: - Dấu của \(a\) là âm (\(a < 0\)). - Dấu của \(\Delta\) là âm (\(\Delta < 0\)). Câu 3 Để tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển của \( (3x - 1)^3 \), ta sẽ sử dụng công thức nhị thức Newton. Công thức nhị thức Newton cho khai triển \( (a + b)^n \) là: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \( a = 3x \), \( b = -1 \), và \( n = 3 \). Ta cần tìm hệ số của \( x^2 \). Khai triển \( (3x - 1)^3 \): \[ (3x - 1)^3 = \sum_{k=0}^{3} \binom{3}{k} (3x)^{3-k} (-1)^k \] Ta sẽ xem xét từng hạng tử trong tổng này: 1. Khi \( k = 0 \): \[ \binom{3}{0} (3x)^{3-0} (-1)^0 = 1 \cdot (3x)^3 \cdot 1 = 27x^3 \] 2. Khi \( k = 1 \): \[ \binom{3}{1} (3x)^{3-1} (-1)^1 = 3 \cdot (3x)^2 \cdot (-1) = 3 \cdot 9x^2 \cdot (-1) = -27x^2 \] 3. Khi \( k = 2 \): \[ \binom{3}{2} (3x)^{3-2} (-1)^2 = 3 \cdot (3x)^1 \cdot 1 = 3 \cdot 3x \cdot 1 = 9x \] 4. Khi \( k = 3 \): \[ \binom{3}{3} (3x)^{3-3} (-1)^3 = 1 \cdot (3x)^0 \cdot (-1) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1 \] Như vậy, khai triển của \( (3x - 1)^3 \) là: \[ (3x - 1)^3 = 27x^3 - 27x^2 + 9x - 1 \] Hệ số của \( x^2 \) trong khai triển này là \(-27\). Đáp số: \(-27\) Câu 4 Để tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên hai đường thẳng song song $d_1$ và $d_2$, ta thực hiện theo các bước sau: 1. Tìm số cách chọn 3 điểm từ 37 điểm: Số cách chọn 3 điểm từ 37 điểm là: \[ C_{37}^3 = \frac{37!}{3!(37-3)!} = \frac{37 \times 36 \times 35}{3 \times 2 \times 1} = 7770 \] 2. Tìm số cách chọn 3 điểm từ 17 điểm trên $d_2$: Số cách chọn 3 điểm từ 17 điểm là: \[ C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680 \] 3. Tìm số cách chọn 3 điểm từ 20 điểm trên $d_1$: Số cách chọn 3 điểm từ 20 điểm là: \[ C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140 \] 4. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm: Số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm là: \[ 7770 - (680 + 1140) = 7770 - 1820 = 5950 \] Vậy số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên $d_1$ và $d_2$ là 5950.