Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 1: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số. 2. Xác định dấu của đạo hàm để xét tính tăng giảm của hàm số. 3. Tìm các điểm cực trị của hàm số. 4. Kiểm tra các mệnh đề đã cho. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{x}{2} - \sin^2 x \] Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} - \sin^2 x\right) = \frac{1}{2} - 2 \sin x \cos x = \frac{1}{2} - \sin 2x \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm Đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{1}{2} - \sin 2x \] Ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( y' > 0 \) và \( y' < 0 \). - \( y' > 0 \) khi \( \frac{1}{2} - \sin 2x > 0 \) \[ \sin 2x < \frac{1}{2} \] Trên khoảng \( (0; \pi) \), ta có: \[ 2x \in (0; 2\pi) \] Do đó: \[ 2x \in \left(0; \frac{\pi}{6}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{6}; 2\pi\right) \] \[ x \in \left(0; \frac{\pi}{12}\right) \cup \left(\frac{5\pi}{12}; \pi\right) \] - \( y' < 0 \) khi \( \frac{1}{2} - \sin 2x < 0 \) \[ \sin 2x > \frac{1}{2} \] Trên khoảng \( (0; \pi) \), ta có: \[ 2x \in \left(\frac{\pi}{6}; \frac{5\pi}{6}\right) \] \[ x \in \left(\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12}\right) \] Bước 3: Tìm các điểm cực trị của hàm số Các điểm cực trị xảy ra khi đạo hàm bằng 0: \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} - \sin 2x = 0 \] \[ \sin 2x = \frac{1}{2} \] Trên khoảng \( (0; \pi) \), ta có: \[ 2x = \frac{\pi}{6} \text{ hoặc } 2x = \frac{5\pi}{6} \] \[ x = \frac{\pi}{12} \text{ hoặc } x = \frac{5\pi}{12} \] Kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên các điểm này: - \( x = \frac{\pi}{12} \): - Trước \( x = \frac{\pi}{12} \), \( y' > 0 \) - Sau \( x = \frac{\pi}{12} \), \( y' < 0 \) Do đó, \( x = \frac{\pi}{12} \) là điểm cực đại. - \( x = \frac{5\pi}{12} \): - Trước \( x = \frac{5\pi}{12} \), \( y' < 0 \) - Sau \( x = \frac{5\pi}{12} \), \( y' > 0 \) Do đó, \( x = \frac{5\pi}{12} \) là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu của hàm số tại \( x = \frac{5\pi}{12} \): \[ y\left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{\frac{5\pi}{12}}{2} - \sin^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \frac{5\pi}{24} - \left(\frac{1 + \cos \frac{5\pi}{6}}{2}\right) = \frac{5\pi}{24} - \left(\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}\right) = \frac{5\pi}{24} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \] Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{5\pi}{12}; \pi\right) \): Sai vì trên khoảng \( \left(\frac{5\pi}{12}; \pi\right) \), đạo hàm \( y' > 0 \), hàm số đồng biến. b) Hàm số có 2 điểm cực trị: Đúng vì đã tìm được 2 điểm cực trị \( x = \frac{\pi}{12} \) (cực đại) và \( x = \frac{5\pi}{12} \) (cực tiểu). c) Giá trị cực tiểu của hàm số là \( \frac{5\pi}{24} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4} \): Sai vì giá trị cực tiểu đúng là \( \frac{5\pi}{24} - \frac{2 - \sqrt{3}}{4} \). d) Đồ thị hàm số \( y = f'(x) \) cắt đồ thị hàm số \( y = \frac{-\sin^2 2x}{2} \) tại 2 điểm trên khoảng \( (0; \pi) \): Đúng vì đạo hàm \( y' = \frac{1}{2} - \sin 2x \) và \( y = \frac{-\sin^2 2x}{2} \) có thể cắt nhau tại 2 điểm trên khoảng \( (0; \pi) \). Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng