giups mk nha

Câu 1: 1. Tính bằng cách hợp lý: $A = \frac{1}{100} - \frac{1}{100 \cdot 99} - \frac{1}{99 \cdot 98} - \frac{1}{98 \cdot 97} - ... - \frac{1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 1}$ Ta nhận thấy rằng mỗi phân số có dạng $\frac{1}{n(n-1)}$. Ta có thể viết lại chúng dưới dạng: \[ \frac{1}{n(n-1)} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \] Áp dụng vào bài toán: \[ A = \frac{1}{100} - \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right) - \left( \frac{1}{98} - \frac{1}{99} \right) - ... - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) \] Nhìn vào biểu thức trên, ta thấy các phân số liên tiếp sẽ triệt tiêu lẫn nhau: \[ A = \frac{1}{100} - \frac{1}{99} + \frac{1}{99} - \frac{1}{98} + \frac{1}{98} - \frac{1}{97} + ... + \frac{1}{2} - \frac{1}{1} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \] Cuối cùng, chỉ còn lại: \[ A = \frac{1}{100} - \frac{1}{1} = \frac{1}{100} - 1 = \frac{1 - 100}{100} = \frac{-99}{100} = -\frac{99}{100} \] Vậy: \[ A = -\frac{99}{100} \] 2. Cho tỉ lệ thức: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Chứng minh rằng: $\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}$ (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa). Giả sử $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k$, tức là $a = kb$ và $c = kd$. Thay vào biểu thức cần chứng minh: \[ \frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2(kb) + 3b}{2(kb) - 3b} = \frac{2kb + 3b}{2kb - 3b} = \frac{b(2k + 3)}{b(2k - 3)} = \frac{2k + 3}{2k - 3} \] Tương tự: \[ \frac{2c + 3d}{2c - 3d} = \frac{2(kd) + 3d}{2(kd) - 3d} = \frac{2kd + 3d}{2kd - 3d} = \frac{d(2k + 3)}{d(2k - 3)} = \frac{2k + 3}{2k - 3} \] Vậy: \[ \frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d} \] Điều này chứng tỏ rằng nếu $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ thì $\frac{2a + 3b}{2a - 3b} = \frac{2c + 3d}{2c - 3d}$. Câu 2: 1. Tìm x biết $\frac{x-1}{2022}+\frac{x-2}{2021}=\frac{x-3}{2020}+\frac{x-4}{2019}$ Ta có: \[ \frac{x-1}{2022} + \frac{x-2}{2021} = \frac{x-3}{2020} + \frac{x-4}{2019} \] Nhân cả hai vế với 2022 × 2021 × 2020 × 2019 để loại bỏ mẫu số: \[ (x-1) \cdot 2021 \cdot 2020 \cdot 2019 + (x-2) \cdot 2022 \cdot 2020 \cdot 2019 = (x-3) \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2019 + (x-4) \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2020 \] Phân tích và nhóm các hạng tử: \[ (x-1) \cdot 2021 \cdot 2020 \cdot 2019 + (x-2) \cdot 2022 \cdot 2020 \cdot 2019 = (x-3) \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2019 + (x-4) \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2020 \] Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ (x-1) \cdot 2021 \cdot 2020 \cdot 2019 + (x-2) \cdot 2022 \cdot 2020 \cdot 2019 - (x-3) \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2019 - (x-4) \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2020 = 0 \] Nhóm lại theo x: \[ x(2021 \cdot 2020 \cdot 2019 + 2022 \cdot 2020 \cdot 2019 - 2022 \cdot 2021 \cdot 2019 - 2022 \cdot 2021 \cdot 2020) - (2021 \cdot 2020 \cdot 2019 + 2 \cdot 2022 \cdot 2020 \cdot 2019 - 3 \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2019 - 4 \cdot 2022 \cdot 2021 \cdot 2020) = 0 \] Tìm x: \[ x = 2022 \] 2. Cho đa thức $A(x)=x^{2023}-2023x^{2022}+2023x^{2021}-2023x^{2020}+...+2023x-1$. Tính giá trị của đa thức $A(x)$ tại $x=2022$. Thay $x = 2022$ vào đa thức $A(x)$: \[ A(2022) = 2022^{2023} - 2023 \cdot 2022^{2022} + 2023 \cdot 2022^{2021} - 2023 \cdot 2022^{2020} + ... + 2023 \cdot 2022 - 1 \] Nhận thấy rằng mỗi cặp số liên tiếp sẽ bị triệt tiêu: \[ 2022^{2023} - 2023 \cdot 2022^{2022} = 2022^{2022}(2022 - 2023) = -2022^{2022} \] \[ -2022^{2022} + 2023 \cdot 2022^{2021} = 2022^{2021}(-2022 + 2023) = 2022^{2021} \] \[ 2022^{2021} - 2023 \cdot 2022^{2020} = 2022^{2020}(2022 - 2023) = -2022^{2020} \] \[ ... \] \[ 2023 \cdot 2022 - 1 = 2022 \cdot 2023 - 1 = 2022 \cdot 2023 - 1 \] Cuối cùng, ta nhận thấy rằng tất cả các cặp số đều bị triệt tiêu, ngoại trừ số cuối cùng: \[ A(2022) = -1 \] Đáp số: 1. $x = 2022$ 2. $A(2022) = -1$ Câu 3: 1. Ta có: $2a^3-b^2=2(4a-b)$ $2a^3-8a=2b-b^2$ $2a(a^2-4)=b(2-b)$ $2a(a-2)(a+2)=b(2-b)$ Vì a và b là số nguyên tố nên a > 1 và b > 1. Do đó, $a-2 < a$ và $2-b < 2$. Ta thấy rằng $a-2$ và $a+2$ đều là số nguyên tố lẻ (vì a là số nguyên tố lớn hơn 2). Do đó, $2a(a-2)(a+2)$ là số chẵn và $b(2-b)$ là số lẻ (vì b là số nguyên tố lớn hơn 2). Vậy $2a(a-2)(a+2)=b(2-b)$ chỉ có thể xảy ra khi $a=2$ và $b=3$. Vậy hai số nguyên tố a và b là 2 và 3. 2. Ta có: - $a+9$ chia hết cho 6, suy ra $a+3$ chia hết cho 3 (vì $a+9=(a+3)+6$, mà 6 chia hết cho 3). - $b+2011$ chia hết cho 6, suy ra $b+5$ chia hết cho 3 (vì $b+2011=(b+5)+2006$, mà 2006 chia hết cho 3). Do đó, $(a+3)+(b+5)=a+b+8$ chia hết cho 3. Mặt khác, ta có $4^a$ chia hết cho 4 (vì $4^a$ là lũy thừa của 4). Vậy $4^a+a+b$ chia hết cho 3 (vì $4^a$ chia hết cho 4 và $a+b+8$ chia hết cho 3). Từ đó, $4^a+a+b$ chia hết cho 6 (vì $4^a$ chia hết cho 4 và $a+b+8$ chia hết cho 3). Câu 4: Ta có: $a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ca)$ $\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)< 0$ $\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2< 0$ Mà $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2>0$ (vì là tổng của các bình phương) Do đó, ta có $a^2+b^2+c^2< 2(ab+bc+ca)$. Câu 5: 1. Ta có: - Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. - Tam giác ABE vuông cân tại B nên AB = BE. - AI = BC (theo đề bài). Do đó, ta có: - AB = BE (chứng minh trên). - AI = BC (theo đề bài). - Góc BAI = góc CBE (vì tam giác ABC cân tại A và tam giác ABE vuông cân tại B). Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có tam giác ABI bằng tam giác BEC. 2. Ta có: - Tam giác ABI bằng tam giác BEC nên BI = CE. - Góc ABI = góc BEC (vì tam giác ABI bằng tam giác BEC). Do đó, ta có: - Góc ABI + góc EBI = góc BEC + góc EBI = 90° (vì tam giác ABE vuông cân tại B). Vậy BI ⊥ CE. 3. Ta có: - Tam giác ABC cân tại A nên góc ABC = góc ACB. - BD là phân giác của góc ABC nên góc ABD = góc DBC = $\frac{1}{2}$ góc ABC. - DM là phân giác của góc BDC nên góc BDM = góc MDC = $\frac{1}{2}$ góc BDC. Ta có: - Góc BDC = 180° - góc ABC - góc ACB = 180° - 2 × góc ABC (vì tam giác ABC cân tại A). - Góc BDM = $\frac{1}{2}$ × (180° - 2 × góc ABC) = 90° - góc ABC. Vậy góc BDM = góc DBC. 4. Ta có: - Góc BDM = góc DBC (chứng minh trên). - Góc DBM chung. Vậy theo trường hợp bằng nhau thứ hai (góc - cạnh - góc), ta có tam giác BDM bằng tam giác BDC. 5. Ta có: - Tam giác BDM bằng tam giác BDC nên BM = MC. - Góc BMC = góc MCB (vì tam giác BDM bằng tam giác BDC). Vậy tam giác BMC cân tại M. 6. Ta có: - Góc BMC = góc MCB (chứng minh trên). - Góc BMC + góc MCB + góc BMC = 180° (tổng các góc trong tam giác). Vậy góc BMC = góc MCB = 90°. 7. Ta có: - Góc BMC = 90° (chứng minh trên). - Góc MCB = 90° (chứng minh trên). Vậy tam giác BMC vuông cân tại M. 8. Ta có: - Góc BMC = 90° (chứng minh trên). - Góc MCB = 90° (chứng minh trên). Vậy MN = 2 × BD (vì tam giác BMC vuông cân tại M và BD là đường cao hạ từ đỉnh M xuống đáy BC). Vậy BD = $\frac{1}{2}$ MN. Câu 6: Để tìm tất cả các số nguyên dương \( n \) sao cho \( A = 2^n + 3^n + 4^n \) là một số chính phương, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp của \( n \): 1. Kiểm tra \( n = 1 \): \[ A = 2^1 + 3^1 + 4^1 = 2 + 3 + 4 = 9 \] Ta thấy \( 9 = 3^2 \), do đó \( A \) là số chính phương khi \( n = 1 \). 2. Kiểm tra \( n = 2 \): \[ A = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29 \] Ta thấy \( 29 \) không phải là số chính phương. 3. Kiểm tra \( n = 3 \): \[ A = 2^3 + 3^3 + 4^3 = 8 + 27 + 64 = 99 \] Ta thấy \( 99 \) không phải là số chính phương. 4. Kiểm tra \( n = 4 \): \[ A = 2^4 + 3^4 + 4^4 = 16 + 81 + 256 = 353 \] Ta thấy \( 353 \) không phải là số chính phương. 5. Kiểm tra \( n = 5 \): \[ A = 2^5 + 3^5 + 4^5 = 32 + 243 + 1024 = 1299 \] Ta thấy \( 1299 \) không phải là số chính phương. 6. Kiểm tra \( n = 6 \): \[ A = 2^6 + 3^6 + 4^6 = 64 + 729 + 4096 = 4889 \] Ta thấy \( 4889 \) không phải là số chính phương. 7. Kiểm tra \( n = 7 \): \[ A = 2^7 + 3^7 + 4^7 = 128 + 2187 + 16384 = 18699 \] Ta thấy \( 18699 \) không phải là số chính phương. 8. Kiểm tra \( n = 8 \): \[ A = 2^8 + 3^8 + 4^8 = 256 + 6561 + 65536 = 72353 \] Ta thấy \( 72353 \) không phải là số chính phương. 9. Kiểm tra \( n = 9 \): \[ A = 2^9 + 3^9 + 4^9 = 512 + 19683 + 262144 = 282339 \] Ta thấy \( 282339 \) không phải là số chính phương. 10. Kiểm tra \( n = 10 \): \[ A = 2^{10} + 3^{10} + 4^{10} = 1024 + 59049 + 1048576 = 1108649 \] Ta thấy \( 1108649 \) không phải là số chính phương. Qua các phép tính trên, ta thấy chỉ có \( n = 1 \) là thỏa mãn điều kiện \( A \) là số chính phương. Kết luận: Các số nguyên dương \( n \) để \( A = 2^n + 3^n + 4^n \) là số chính phương là \( n = 1 \).