Hsnsjsnssbjssmabbai

Câu 1: Để giải quyết các phát biểu trong câu hỏi, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Hàm số trên luôn đồng biến trên tập xác định. Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (\ln x - 2x^2) = \frac{1}{x} - 4x \] Phương trình đạo hàm bằng 0: \[ \frac{1}{x} - 4x = 0 \] \[ \frac{1}{x} = 4x \] \[ 1 = 4x^2 \] \[ x^2 = \frac{1}{4} \] \[ x = \frac{1}{2} \quad \text{(vì } x > 0) \] Ta thấy rằng đạo hàm \( f'(x) \) thay đổi dấu tại \( x = \frac{1}{2} \). Do đó, hàm số không phải luôn đồng biến trên tập xác định. Phát biểu này sai. b) \( f(1) = -2 \); \( f(e^2) = 2 - 2e^4 \). Tính giá trị của hàm số tại các điểm: \[ f(1) = \ln 1 - 2 \cdot 1^2 = 0 - 2 = -2 \] \[ f(e^2) = \ln(e^2) - 2(e^2)^2 = 2 - 2e^4 \] Phát biểu này đúng. c) Hàm số \( y = f(x) \) có hai điểm cực trị. Như đã tính ở phần a), đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 tại \( x = \frac{1}{2} \). Ta kiểm tra dấu của đạo hàm ở hai bên điểm này: - Khi \( x < \frac{1}{2} \), \( f'(x) > 0 \) (hàm số đồng biến) - Khi \( x > \frac{1}{2} \), \( f'(x) < 0 \) (hàm số nghịch biến) Do đó, \( x = \frac{1}{2} \) là điểm cực đại. Hàm số không có thêm điểm cực trị khác. Phát biểu này sai. d) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([1; e^2]\) là \( -\frac{5}{2} - \ln 2 \). Trên đoạn \([1; e^2]\), ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các biên và điểm cực trị nằm trong đoạn này: - \( f(1) = -2 \) - \( f(e^2) = 2 - 2e^4 \) - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = \ln \left(\frac{1}{2}\right) - 2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = -\ln 2 - \frac{1}{2} \) So sánh các giá trị: - \( f(1) = -2 \) - \( f(e^2) = 2 - 2e^4 \) (số âm rất lớn) - \( f\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 - \frac{1}{2} \approx -0.693 - 0.5 = -1.193 \) Giá trị lớn nhất là \( f(1) = -2 \) và giá trị nhỏ nhất là \( f(e^2) = 2 - 2e^4 \). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: \[ -2 + (2 - 2e^4) = -2e^4 \] Phát biểu này sai. Kết luận: - Phát biểu a) sai. - Phát biểu b) đúng. - Phát biểu c) sai. - Phát biểu d) sai. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn cao tốc là 200 m. Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và thời gian tăng tốc - Vận tốc ban đầu của ô tô là 40 km/h, tức là $\frac{40 \times 1000}{3600} = \frac{100}{9}$ m/s. - Thời gian tăng tốc là 15 giây. Bước 2: Xác định quãng đường đã đi trước khi bắt đầu tăng tốc - Trong 2 giây đầu tiên, ô tô di chuyển với vận tốc 40 km/h. - Quãng đường đã đi trong 2 giây đầu tiên là: \[ d_1 = v \times t = \frac{100}{9} \times 2 = \frac{200}{9} \text{ m} \] Bước 3: Xác định quãng đường còn lại cần đi để nhập làn cao tốc - Tổng quãng đường từ điểm ban đầu đến điểm nhập làn là 300 m. - Quãng đường còn lại sau 2 giây là: \[ d_{\text{còn lại}} = 300 - \frac{200}{9} = \frac{2700 - 200}{9} = \frac{2500}{9} \text{ m} \] Bước 4: Xác định quãng đường đi được trong thời gian tăng tốc - Quãng đường đi được trong 15 giây tăng tốc là 200 m. Phần b) Giá trị của b là $\frac{100}{9}$ Bước 1: Xác định vận tốc ban đầu và thời gian tăng tốc - Vận tốc ban đầu của ô tô là $\frac{100}{9}$ m/s. - Thời gian tăng tốc là 15 giây. Bước 2: Xác định vận tốc sau 15 giây - Vận tốc sau 15 giây là: \[ v(15) = a \times 15 + b \] - Vì sau 15 giây, ô tô đã đi được 200 m, ta có: \[ S(15) = \int_0^{15} (at + b) \, dt = \left[ \frac{a t^2}{2} + bt \right]_0^{15} = \frac{a \times 15^2}{2} + b \times 15 = 200 \] \[ \frac{225a}{2} + 15b = 200 \] Bước 3: Xác định vận tốc sau 20 giây - Vận tốc sau 20 giây là: \[ v(20) = a \times 20 + b \] - Vì sau 20 giây, vận tốc không vượt quá 100 km/h, tức là: \[ a \times 20 + b \leq \frac{100 \times 1000}{3600} = \frac{250}{9} \] Bước 4: Giải hệ phương trình - Ta có hai phương trình: \[ \frac{225a}{2} + 15b = 200 \] \[ 20a + b \leq \frac{250}{9} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 225a + 30b = 400 \] \[ a = \frac{400 - 30b}{225} \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ 20 \left( \frac{400 - 30b}{225} \right) + b \leq \frac{250}{9} \] \[ \frac{8000 - 600b}{225} + b \leq \frac{250}{9} \] \[ \frac{8000 - 600b + 225b}{225} \leq \frac{250}{9} \] \[ \frac{8000 - 375b}{225} \leq \frac{250}{9} \] \[ 8000 - 375b \leq 6250 \] \[ 1750 \leq 375b \] \[ b \geq \frac{1750}{375} = \frac{14}{3} \] Do đó, giá trị của b là $\frac{100}{9}$. Phần c) Quãng đường S(t) (đơn vị: mét) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $(0 \leq t \leq 20)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \int_0^t v(t) \, dt$. Bước 1: Tính quãng đường S(t) \[ S(t) = \int_0^t (at + b) \, dt = \left[ \frac{a t^2}{2} + bt \right]_0^t = \frac{a t^2}{2} + bt \] Phần d) Sau 20 giây kể từ khi tăng tốc, vận tốc của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h. Bước 1: Xác định vận tốc sau 20 giây \[ v(20) = a \times 20 + b \] \[ a \times 20 + b \leq \frac{250}{9} \] Vậy, sau 20 giây, vận tốc của ô tô không vượt quá 100 km/h. Kết luận - Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn cao tốc là 200 m. - Giá trị của b là $\frac{100}{9}$. - Quãng đường S(t) mà ô tô đi được trong thời gian t giây $(0 \leq t \leq 20)$ kể từ khi tăng tốc được tính theo công thức $S(t) = \frac{a t^2}{2} + bt$. - Sau 20 giây kể từ khi tăng tốc, vận tốc của ô tô không vượt quá tốc độ tối đa cho phép là 100 km/h.