giải vs ạ iu

Câu 1. Sau lần gửi tiền thứ nhất, số tiền trong tài khoản là: \[ 100 \times (1 + 0.06)^4 = 100 \times 1.26247696 = 126.247696 \text{ triệu đồng} \] Sau lần gửi tiền thứ hai, số tiền trong tài khoản là: \[ 120 \times (1 + 0.06)^3 = 120 \times 1.191016 = 142.92192 \text{ triệu đồng} \] Sau lần gửi tiền thứ ba, số tiền trong tài khoản là: \[ 150 \times (1 + 0.06)^2 = 150 \times 1.1236 = 168.54 \text{ triệu đồng} \] Sau lần gửi tiền thứ tư, số tiền trong tài khoản là: \[ 160 \times (1 + 0.06) = 160 \times 1.06 = 169.6 \text{ triệu đồng} \] Sau lần gửi tiền thứ năm, số tiền trong tài khoản là: \[ 180 \text{ triệu đồng} \] Tổng số tiền trong tài khoản sau lần gửi tiền cuối cùng là: \[ 126.247696 + 142.92192 + 168.54 + 169.6 + 180 = 787.309616 \text{ triệu đồng} \] Làm tròn đến hàng triệu đồng, ta có: \[ 787.309616 \approx 787 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 787 triệu đồng Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tính xác suất của từng trường hợp xảy ra và sau đó tổng hợp lại để tìm xác suất cuối cùng. 1. Tính xác suất của từng trường hợp: - Xác suất lấy được sản phẩm loại I từ lô thứ nhất: \[ P(I_1) = \frac{10}{13} \] - Xác suất lấy được sản phẩm loại II từ lô thứ nhất: \[ P(II_1) = \frac{3}{13} \] - Xác suất lấy được sản phẩm loại I từ lô thứ hai: \[ P(I_2) = \frac{9}{11} \] - Xác suất lấy được sản phẩm loại II từ lô thứ hai: \[ P(II_2) = \frac{2}{11} \] 2. Xác định số lượng sản phẩm còn lại trong lô thứ ba: - Nếu lấy sản phẩm loại I từ lô thứ nhất và sản phẩm loại I từ lô thứ hai: \[ \text{Số sản phẩm loại I trong lô thứ ba} = 9 + 8 = 17 \] \[ \text{Số sản phẩm loại II trong lô thứ ba} = 3 + 2 = 5 \] \[ \text{Tổng số sản phẩm trong lô thứ ba} = 17 + 5 = 22 \] \[ P(I | I_1 \cap I_2) = \frac{17}{22} \] - Nếu lấy sản phẩm loại I từ lô thứ nhất và sản phẩm loại II từ lô thứ hai: \[ \text{Số sản phẩm loại I trong lô thứ ba} = 9 + 9 = 18 \] \[ \text{Số sản phẩm loại II trong lô thứ ba} = 3 + 1 = 4 \] \[ \text{Tổng số sản phẩm trong lô thứ ba} = 18 + 4 = 22 \] \[ P(I | I_1 \cap II_2) = \frac{18}{22} \] - Nếu lấy sản phẩm loại II từ lô thứ nhất và sản phẩm loại I từ lô thứ hai: \[ \text{Số sản phẩm loại I trong lô thứ ba} = 10 + 8 = 18 \] \[ \text{Số sản phẩm loại II trong lô thứ ba} = 2 + 2 = 4 \] \[ \text{Tổng số sản phẩm trong lô thứ ba} = 18 + 4 = 22 \] \[ P(I | II_1 \cap I_2) = \frac{18}{22} \] - Nếu lấy sản phẩm loại II từ lô thứ nhất và sản phẩm loại II từ lô thứ hai: \[ \text{Số sản phẩm loại I trong lô thứ ba} = 10 + 9 = 19 \] \[ \text{Số sản phẩm loại II trong lô thứ ba} = 2 + 1 = 3 \] \[ \text{Tổng số sản phẩm trong lô thứ ba} = 19 + 3 = 22 \] \[ P(I | II_1 \cap II_2) = \frac{19}{22} \] 3. Tính xác suất tổng hợp: \[ P(I) = P(I_1) \cdot P(I_2) \cdot P(I | I_1 \cap I_2) + P(I_1) \cdot P(II_2) \cdot P(I | I_1 \cap II_2) + P(II_1) \cdot P(I_2) \cdot P(I | II_1 \cap I_2) + P(II_1) \cdot P(II_2) \cdot P(I | II_1 \cap II_2) \] \[ P(I) = \left(\frac{10}{13}\right) \cdot \left(\frac{9}{11}\right) \cdot \left(\frac{17}{22}\right) + \left(\frac{10}{13}\right) \cdot \left(\frac{2}{11}\right) \cdot \left(\frac{18}{22}\right) + \left(\frac{3}{13}\right) \cdot \left(\frac{9}{11}\right) \cdot \left(\frac{18}{22}\right) + \left(\frac{3}{13}\right) \cdot \left(\frac{2}{11}\right) \cdot \left(\frac{19}{22}\right) \] \[ P(I) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 17}{13 \cdot 11 \cdot 22} + \frac{10 \cdot 2 \cdot 18}{13 \cdot 11 \cdot 22} + \frac{3 \cdot 9 \cdot 18}{13 \cdot 11 \cdot 22} + \frac{3 \cdot 2 \cdot 19}{13 \cdot 11 \cdot 22} \] \[ P(I) = \frac{1530 + 360 + 486 + 114}{13 \cdot 11 \cdot 22} \] \[ P(I) = \frac{2490}{3289} \] \[ P(I) \approx 0.757 \] Vậy xác suất để lấy được sản phẩm là sản phẩm loại I là khoảng 0.76 (làm tròn đến hàng phần chục). Câu 3. Để tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay miền (D) quanh trục Ox, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân. Cụ thể, chúng ta sẽ tính thể tích của vật thể tròn xoay bằng cách tích phân diện tích mặt cắt ngang của nó theo trục Ox. Bước 1: Xác định các hàm số và miền (D) - Đồ thị hàm số $y = a^$ (gọi là $f(x)$) - Đồ thị hàm số $y = a^{-\prime}$ (gọi là $g(x)$) - Đồ thị hàm số $y = Ax^2 + Bx + C$ (gọi là $h(x)$) - Đường tròn (C) Bước 2: Xác định khoảng tích phân - Giả sử miền (D) nằm giữa hai điểm $x = a$ và $x = b$ trên trục Ox. Bước 3: Tính diện tích mặt cắt ngang Diện tích mặt cắt ngang của vật thể tròn xoay tại mỗi điểm $x$ là: \[ A(x) = \pi \left[ (f(x))^2 - (g(x))^2 \right] \] Bước 4: Tích phân diện tích mặt cắt ngang để tìm thể tích Thể tích của vật thể tròn xoay là: \[ V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx = \int_{a}^{b} \pi \left[ (f(x))^2 - (g(x))^2 \right] \, dx \] Bước 5: Thay các hàm số vào công thức Giả sử $f(x) = a^$, $g(x) = a^{-\prime}$, và $h(x) = Ax^2 + Bx + C$. Chúng ta cần biết cụ thể các giá trị của $a$, $A$, $B$, $C$, và khoảng tích phân từ $a$ đến $b$. Bước 6: Tính tích phân \[ V = \pi \int_{a}^{b} \left[ (a^)^2 - (a^{-\prime})^2 \right] \, dx \] Bước 7: Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị Sau khi tính tích phân, chúng ta làm tròn kết quả đến hàng đơn vị. Ví dụ cụ thể: Giả sử $a = 2$, $A = 1$, $B = 0$, $C = 0$, và khoảng tích phân từ $x = 0$ đến $x = 1$. \[ f(x) = 2^x \] \[ g(x) = 2^{-x} \] \[ h(x) = x^2 \] Thể tích: \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ (2^x)^2 - (2^{-x})^2 \right] \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{1} \left[ 4^x - 4^{-x} \right] \, dx \] Tính tích phân: \[ V = \pi \left[ \frac{4^x}{\ln(4)} + \frac{4^{-x}}{\ln(4)} \right]_{0}^{1} \] \[ V = \pi \left[ \left( \frac{4}{\ln(4)} + \frac{1}{4 \ln(4)} \right) - \left( \frac{1}{\ln(4)} + \frac{1}{\ln(4)} \right) \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{4}{\ln(4)} + \frac{1}{4 \ln(4)} - \frac{2}{\ln(4)} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{4 + \frac{1}{4} - 2}{\ln(4)} \right] \] \[ V = \pi \left[ \frac{2.25}{\ln(4)} \right] \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: \[ V \approx 3.14 \times \frac{2.25}{1.386} \approx 5.09 \] Vậy thể tích của vật thể tròn xoay là khoảng 5 đơn vị thể tích. Câu 4. Đầu tiên, ta cần xác định các đại lượng liên quan trong bài toán này: - Khoảng cách từ khu A đến sông là 6 km. - Khoảng cách từ khu B đến sông là 8 km. - Tổng khoảng cách từ điểm M trên bờ sông đến điểm N trên bờ sông là 30 km. - Ta cần tìm khoảng cách từ điểm Q trên bờ sông đến khu A sao cho tổng đường đi từ khu A đến khu B qua cây cầu PQ là ngắn nhất. Gọi khoảng cách từ điểm Q đến khu A là \( x \) km. Khi đó, khoảng cách từ điểm P đến khu B sẽ là \( 30 - x \) km. Ta cần tính tổng đường đi từ khu A đến khu B qua cây cầu PQ. Tổng đường đi này bao gồm ba đoạn: 1. Đoạn từ khu A đến điểm Q. 2. Đoạn từ điểm Q đến điểm P (độ dài cố định của cây cầu PQ). 3. Đoạn từ điểm P đến khu B. Ta có: - Đoạn từ khu A đến điểm Q là \( \sqrt{x^2 + 6^2} = \sqrt{x^2 + 36} \) km. - Đoạn từ điểm Q đến điểm P là độ dài cố định của cây cầu PQ, ta gọi là \( d \) km. - Đoạn từ điểm P đến khu B là \( \sqrt{(30 - x)^2 + 8^2} = \sqrt{(30 - x)^2 + 64} \) km. Tổng đường đi là: \[ f(x) = \sqrt{x^2 + 36} + d + \sqrt{(30 - x)^2 + 64} \] Để tìm giá trị \( x \) sao cho tổng đường đi ngắn nhất, ta cần tìm giá trị \( x \) làm cho đạo hàm của \( f(x) \) bằng 0. Tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} - \frac{30 - x}{\sqrt{(30 - x)^2 + 64}} \] Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} = \frac{30 - x}{\sqrt{(30 - x)^2 + 64}} \] Bình phương cả hai vế: \[ \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 36}} \right)^2 = \left( \frac{30 - x}{\sqrt{(30 - x)^2 + 64}} \right)^2 \] \[ \frac{x^2}{x^2 + 36} = \frac{(30 - x)^2}{(30 - x)^2 + 64} \] Nhân chéo để giải phương trình: \[ x^2 \left( (30 - x)^2 + 64 \right) = (30 - x)^2 (x^2 + 36) \] Phát triển và giản ước: \[ x^2 (900 - 60x + x^2 + 64) = (900 - 60x + x^2)(x^2 + 36) \] \[ x^2 (964 - 60x + x^2) = 900x^2 + 32400 - 60x^3 - 2160x + x^4 + 36x^2 \] \[ 964x^2 - 60x^3 + x^4 = 936x^2 + 32400 - 60x^3 + x^4 - 2160x \] Giản ước và sắp xếp lại: \[ 964x^2 - 936x^2 = 32400 - 2160x \] \[ 28x^2 = 32400 - 2160x \] \[ 28x^2 + 2160x - 32400 = 0 \] Chia cả phương trình cho 4: \[ 7x^2 + 540x - 8100 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-540 \pm \sqrt{540^2 + 4 \cdot 7 \cdot 8100}}{2 \cdot 7} \] \[ x = \frac{-540 \pm \sqrt{291600 + 226800}}{14} \] \[ x = \frac{-540 \pm \sqrt{518400}}{14} \] \[ x = \frac{-540 \pm 720}{14} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{180}{14} \approx 12.86 \] \[ x_2 = \frac{-1260}{14} \approx -90 \] (loại vì không hợp lý) Vậy, đầu cây cầu Q cách thành phố A khoảng 13 km để đường đi từ thành phố A đến thành phố B là ngắn nhất. Đáp số: 13 km. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số và vị trí của các điểm. 2. Tính khoảng cách từ S đến C. 3. Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC). Bước 1: Xác định các thông số và vị trí của các điểm - Tam giác ABC là tam giác đều cạnh a. - Điểm H nằm trên cạnh AB sao cho $HA = 2HB$. - Vì tam giác đều nên $AB = BC = CA = a$. - Ta có $AH = \frac{2}{3}a$ và $BH = \frac{1}{3}a$. Bước 2: Tính khoảng cách từ S đến C - Gọi O là trung điểm của BC. Vì tam giác đều nên $AO \perp BC$ và $AO = \frac{\sqrt{3}}{2}a$. - Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H, do đó SH vuông góc với mặt phẳng (ABC). - Ta có $HC = \sqrt{HB^2 + BC^2 - 2 \cdot HB \cdot BC \cdot \cos(60^\circ)} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}a\right)^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot a \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{9}a^2 + a^2 - \frac{1}{3}a^2} = \sqrt{\frac{7}{9}a^2} = \frac{\sqrt{7}}{3}a$. Bước 3: Tìm góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) - Gọi góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $\alpha$. - Ta có $\sin(\alpha) = \frac{SH}{SC}$. - Để tính SH, ta cần biết chiều cao của hình chóp từ S xuống mặt phẳng (ABC). Do SH vuông góc với mặt phẳng (ABC), ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác vuông và các phép toán đại lượng đã biết. - Ta có $SC = \sqrt{SH^2 + HC^2}$. - Vì SH chưa biết, ta cần tính SH dựa vào các thông số đã biết. Do đó, ta có: \[ \sin(\alpha) = \frac{SH}{\sqrt{SH^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{3}a\right)^2}} \] Vì SH chưa biết, ta cần thêm thông tin về chiều cao của hình chóp hoặc sử dụng các phương pháp khác để tính SH. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể sử dụng phương pháp trực quan hoặc các phương pháp đại lượng để tìm góc $\alpha$. Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là $\alpha$, và ta cần tính toán cụ thể hơn để tìm giá trị chính xác của $\alpha$.