giúp 2 bài này ạ

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định điều kiện ban đầu - Tại thời điểm xuất phát (\( t = 0 \)), khinh khí cầu ở độ cao 520 m: \[ h(0) = 520 \] Bước 2: Xác định độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm \( t \) - Độ cao của khinh khí cầu tại thời điểm \( t \) được cho bởi: \[ h(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt \] - Biết rằng \( v(t) = at^2 + bt \), ta có: \[ h(t) = \int_{0}^{t} (at^2 + bt) \, dt \] \[ h(t) = \left[ \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 \right]_{0}^{t} \] \[ h(t) = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + C \] - Tại \( t = 0 \), \( h(0) = 520 \): \[ 520 = \frac{a}{3}(0)^3 + \frac{b}{2}(0)^2 + C \] \[ C = 520 \] - Vậy: \[ h(t) = \frac{a}{3}t^3 + \frac{b}{2}t^2 + 520 \] Bước 3: Xác định các điều kiện khác - Sau 5 phút, khinh khí cầu ở độ cao 530 m: \[ h(5) = 530 \] \[ \frac{a}{3}(5)^3 + \frac{b}{2}(5)^2 + 520 = 530 \] \[ \frac{125a}{3} + \frac{25b}{2} + 520 = 530 \] \[ \frac{125a}{3} + \frac{25b}{2} = 10 \] \[ 250a + 75b = 60 \quad \text{(1)} \] - Sau 15 phút, khinh khí cầu trở lại độ cao ban đầu: \[ h(15) = 520 \] \[ \frac{a}{3}(15)^3 + \frac{b}{2}(15)^2 + 520 = 520 \] \[ \frac{3375a}{3} + \frac{225b}{2} + 520 = 520 \] \[ 1125a + 112.5b = 0 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình - Từ phương trình (2): \[ 1125a + 112.5b = 0 \] \[ 9a + b = 0 \] \[ b = -9a \] - Thay vào phương trình (1): \[ 250a + 75(-9a) = 60 \] \[ 250a - 675a = 60 \] \[ -425a = 60 \] \[ a = -\frac{60}{425} = -\frac{12}{85} \] \[ b = -9 \left( -\frac{12}{85} \right) = \frac{108}{85} \] Bước 5: Xác định độ cao tối đa - Tốc độ bay của khinh khí cầu: \[ v(t) = -\frac{12}{85}t^2 + \frac{108}{85}t \] - Để tìm thời điểm khinh khí cầu đạt tốc độ 0 (đỉnh của parabol): \[ v(t) = 0 \] \[ -\frac{12}{85}t^2 + \frac{108}{85}t = 0 \] \[ t \left( -\frac{12}{85}t + \frac{108}{85} \right) = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 9 \] - Độ cao tối đa xảy ra tại \( t = 9 \): \[ h(9) = \frac{-12}{85 \cdot 3}(9)^3 + \frac{108}{85 \cdot 2}(9)^2 + 520 \] \[ h(9) = \frac{-12}{255}(729) + \frac{108}{170}(81) + 520 \] \[ h(9) = \frac{-8748}{255} + \frac{8748}{170} + 520 \] \[ h(9) = -34.3 + 51.4 + 520 \] \[ h(9) = 537.1 \approx 540 \] Kết luận: - Đáp án đúng là: d) Độ cao tối đa của khinh khí cầu là 540 m. Câu 3: a) Gặp ngẫu nhiên một bệnh nhân thuộc nhóm X, xác suất bệnh nhân bị lao phổi là 0,152. b) Gặp được bệnh nhân không mắc bệnh lao phổi, xác suất bệnh nhân đó có ít nhất một triệu chứng trên là 0,358. c) Xác suất để một bệnh nhân thuộc nhóm X có ít nhất một triệu chứng trên: \[ P(\text{Có ít nhất một triệu chứng}) = P(\text{Lao phổi}) \times P(\text{Có ít nhất một triệu chứng} | \text{Lao phổi}) + P(\text{Không lao phổi}) \times P(\text{Có ít nhất một triệu chứng} | \text{Không lao phổi}) \] \[ = 0,152 \times 0,932 + 0,848 \times 0,642 \] \[ = 0,141824 + 0,544736 \] \[ = 0,68656 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là 69%. d) Xác suất để một bệnh nhân có ít nhất một triệu chứng trên mắc bệnh lao phổi: \[ P(\text{Lao phổi} | \text{Có ít nhất một triệu chứng}) = \frac{P(\text{Lao phổi}) \times P(\text{Có ít nhất một triệu chứng} | \text{Lao phổi})}{P(\text{Có ít nhất một triệu chứng})} \] \[ = \frac{0,152 \times 0,932}{0,68656} \] \[ = \frac{0,141824}{0,68656} \] \[ = 0,20658 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là 21%. Đáp số: a) 0,152 b) 0,358 c) 69% d) 21% Câu 4: a) Hàm số $f(x)=2\sin x\cos x+\sqrt2x$ là tổng của hai hàm số liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$, do đó hàm số đã cho liên tục trên đoạn $[\frac\pi3;\pi]$. b) Đạo hàm của hàm số đã cho là: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x\cos x) + \frac{d}{dx}(\sqrt{2}x) \] \[ f'(x) = 2(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{2} \] \[ f'(x) = 2\cos(2x) + \sqrt{2} \] c) Trên đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$, ta cần giải phương trình $f'(x) = 0$: \[ 2\cos(2x) + \sqrt{2} = 0 \] \[ \cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 2x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \] \[ x = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \quad \text{với } k \in \mathbb{Z} \] Trong đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$, chỉ có nghiệm duy nhất là $x = \frac{3\pi}{8}$. d) Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$, ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại $x = \frac{\pi}{3}$: \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{\pi}{3}\right) \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] - Tại $x = \pi$: \[ f(\pi) = 2\sin(\pi)\cos(\pi) + \sqrt{2}\pi \] \[ f(\pi) = 0 + \sqrt{2}\pi \] \[ f(\pi) = \sqrt{2}\pi \] - Tại $x = \frac{3\pi}{8}$: \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = 2\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right) + \sqrt{2}\left(\frac{3\pi}{8}\right) \] \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} \] \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} \] So sánh các giá trị: \[ f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] \[ f(\pi) = \sqrt{2}\pi \] \[ f\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi\sqrt{2}}{8} \] Giá trị nhỏ nhất là: \[ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của $f(x)$ trên đoạn $[\frac{\pi}{3}; \pi]$ là $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi\sqrt{2}}{3}$.