PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1 Cho hình lập phương A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ có các cạn...

Câu 1 Để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có các cạnh bằng 1, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các đỉnh của hình lập phương: - $A(0, 0, 0)$ - $B(1, 0, 0)$ - $C(1, 1, 0)$ - $D(0, 1, 0)$ - $A'(0, 0, 1)$ - $B'(1, 0, 1)$ - $C'(1, 1, 1)$ - $D'(0, 1, 1)$ 2. Xác định phương trình của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng $(ABB')$ đi qua điểm $A(0, 0, 0)$ và có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB} = (1, 0, 0)$ và $\overrightarrow{AA'} = (0, 0, 1)$. Phương trình mặt phẳng này là $y = 0$. - Mặt phẳng $(CC'D')$ đi qua điểm $C(1, 1, 0)$ và có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{CC'} = (0, 0, 1)$ và $\overrightarrow{CD'} = (-1, 0, 1)$. Phương trình mặt phẳng này là $x = 1$. 3. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: - Hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ đều song song với trục $Oz$, do đó khoảng cách giữa chúng là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song $y = 0$ và $x = 1$. - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng này là khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một đường thẳng song song với trục $Oz$, cụ thể là khoảng cách giữa điểm $A(0, 0, 0)$ và điểm $C(1, 1, 0)$. 4. Tính khoảng cách giữa hai điểm: - Khoảng cách giữa hai điểm $A(0, 0, 0)$ và $C(1, 1, 0)$ là: \[ d = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2} \] Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(ABB')$ và $(CC'D')$ là $\sqrt{2}$. Đáp án đúng là: B $\sqrt{2}$ Câu 2 Trước tiên, ta cần hiểu rằng hình chóp \( S.ABCD \) có đáy là hình vuông và \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy. Điều này có nghĩa là \( SA \) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy, bao gồm cả \( AB \), \( BC \), \( CD \), và \( DA \). Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( BA \perp (SAD) \) - Để \( BA \perp (SAD) \), \( BA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SAD) \). Tuy nhiên, \( BA \) chỉ vuông góc với \( AD \) (vì \( ABCD \) là hình vuông) nhưng không chắc chắn vuông góc với \( SA \). Do đó, mệnh đề này không đúng. B. \( BA \perp (SCD) \) - Để \( BA \perp (SCD) \), \( BA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phằng \( (SCD) \). Tuy nhiên, \( BA \) không vuông góc với \( CD \) (vì \( ABCD \) là hình vuông) và cũng không chắc chắn vuông góc với \( SC \). Do đó, mệnh đề này không đúng. C. \( BA \perp (SBC) \) - Để \( BA \perp (SBC) \), \( BA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SBC) \). Tuy nhiên, \( BA \) không vuông góc với \( BC \) (vì \( ABCD \) là hình vuông) và cũng không chắc chắn vuông góc với \( SB \). Do đó, mệnh đề này không đúng. D. \( BA \perp (SAC) \) - Để \( BA \perp (SAC) \), \( BA \) phải vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \). Ta thấy rằng: - \( BA \perp AC \) vì \( ABCD \) là hình vuông. - \( BA \perp SA \) vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng đáy. Do đó, \( BA \) vuông góc với hai đường thẳng \( AC \) và \( SA \) nằm trong mặt phẳng \( (SAC) \), suy ra \( BA \perp (SAC) \). Vậy mệnh đề đúng là: D. \( BA \perp (SAC) \) Câu 3 Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x \), chúng ta sẽ sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ cơ bản. Công thức nguyên hàm của hàm số \( a^x \) là: \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C \] Trong đó, \( a \) là hằng số dương khác 1 và \( \ln(a) \) là lôgarit tự nhiên của \( a \). Áp dụng công thức này vào hàm số \( f(x) = 3^x \): \[ \int 3^x \, dx = \frac{3^x}{\ln(3)} + C \] Do đó, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^x \) là: \[ \frac{3^x}{\ln(3)} + C \] Vậy đáp án đúng là: C. \(\frac{3^x}{\ln(3)} + C\). Câu 4 Để giải phương trình \( \log_4 x^2 - \log_2 3 = 1 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - \( x^2 > 0 \) (vì logarit của số âm hoặc số bằng 0 không xác định) - Điều này luôn đúng với mọi \( x \neq 0 \). 2. Chuyển đổi logarit cơ sở 4 sang cơ sở 2: \[ \log_4 x^2 = \frac{\log_2 x^2}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x^2}{2} = \frac{2 \log_2 x}{2} = \log_2 x \] 3. Thay vào phương trình: \[ \log_2 x - \log_2 3 = 1 \] 4. Sử dụng tính chất logarit để biến đổi phương trình: \[ \log_2 \left( \frac{x}{3} \right) = 1 \] 5. Giải phương trình logarit: \[ \frac{x}{3} = 2^1 \implies \frac{x}{3} = 2 \implies x = 6 \] 6. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - \( x = 6 \) thỏa mãn điều kiện \( x \neq 0 \). 7. Tổng các nghiệm: - Phương trình có duy nhất một nghiệm \( x = 6 \). Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \( 6 \). Đáp án đúng là: C. 6. Câu 5 Trước tiên, ta biết rằng trong một cấp số cộng, công sai \( d \) được tính bằng cách lấy hiệu giữa hai số hạng liên tiếp. Cụ thể, ta có: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ u_8 = u_1 + 7d \] Biết rằng \( u_1 = \frac{1}{3} \) và \( u_8 = 26 \), ta thay vào công thức trên: \[ 26 = \frac{1}{3} + 7d \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này để tìm \( d \): \[ 26 - \frac{1}{3} = 7d \] \[ \frac{78}{3} - \frac{1}{3} = 7d \] \[ \frac{77}{3} = 7d \] \[ d = \frac{77}{3} \times \frac{1}{7} \] \[ d = \frac{77}{21} \] \[ d = \frac{11}{3} \] Vậy công sai \( d \) là \( \frac{11}{3} \). Đáp án đúng là D: \( d = \frac{11}{3} \). Câu 6 Để xác định đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \), ta cần tìm giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0. Mẫu số của hàm số là \( cx + d \). Đường tiệm cận đứng sẽ là giá trị của \( x \) sao cho \( cx + d = 0 \). Giải phương trình \( cx + d = 0 \): \[ cx + d = 0 \\ cx = -d \\ x = -\frac{d}{c} \] Nhìn vào đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng nằm ở \( x = -1 \). Do đó, ta có: \[ -\frac{d}{c} = -1 \\ \frac{d}{c} = 1 \] Vậy đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \( x = -1 \). Đáp án đúng là: D. \( x = -1 \) Câu 7 Thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \( H \) quanh trục \( Ox \) được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số biểu diễn đường biên của hình phẳng \( H \). - \( a \) và \( b \) là cận dưới và cận trên của đoạn quay, tương ứng với khoảng \( x \) từ 0 đến 2. Do đó, thể tích \( V \) của khối tròn xoay sẽ là: \[ V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy đáp án đúng là: D. \( V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \) Lập luận từng bước: 1. Xác định công thức tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục \( Ox \). 2. Xác định cận dưới và cận trên của đoạn quay từ đồ thị, trong trường hợp này là từ 0 đến 2. 3. Áp dụng công thức vào hàm số \( f(x) \) và khoảng \( x \) từ 0 đến 2 để tính thể tích \( V \). Câu 8 Để giải phương trình \((\frac{1}{25})^{3-2x} = 5^{x+3}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng \(\frac{1}{25} = 5^{-2}\). Do đó, phương trình trở thành: \[ (5^{-2})^{3-2x} = 5^{x+3} \] 2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: \[ 5^{-2(3-2x)} = 5^{x+3} \] Điều này có nghĩa là: \[ 5^{-6 + 4x} = 5^{x+3} \] 3. So sánh các mũ: Vì hai vế đều có cùng cơ số, ta có thể so sánh các mũ: \[ -6 + 4x = x + 3 \] 4. Giải phương trình tuyến tính: \[ -6 + 4x = x + 3 \] Chuyển \(x\) sang vế trái và chuyển 3 sang vế phải: \[ 4x - x = 3 + 6 \] \[ 3x = 9 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x = 3 \] 5. Kiểm tra điều kiện xác định: Phương trình ban đầu không có điều kiện hạn chế nào khác ngoài việc \(x\) phải là số thực. Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 3\). Đáp án đúng là: C \(x = 3\). Câu 9 Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Tính trung tâm của mỗi khoảng: \[ \begin{aligned} &\text{Trung tâm của } [2,7; 3,0) = \frac{2,7 + 3,0}{2} = 2,85 \\ &\text{Trung tâm của } [3,0; 3,3) = \frac{3,0 + 3,3}{2} = 3,15 \\ &\text{Trung tâm của } [3,3; 3,6) = \frac{3,3 + 3,6}{2} = 3,45 \\ &\text{Trung tâm của } [3,6; 3,9) = \frac{3,6 + 3,9}{2} = 3,75 \\ &\text{Trung tâm của } [3,9; 4,2) = \frac{3,9 + 4,2}{2} = 4,05 \\ \end{aligned} \] - Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(2,85 \times 3) + (3,15 \times 6) + (3,45 \times 5) + (3,75 \times 4) + (4,05 \times 2)}{20} \] \[ \bar{x} = \frac{8,55 + 18,9 + 17,25 + 15 + 8,1}{20} = \frac{77,8}{20} = 3,89 \] 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung tâm khoảng và trung bình cộng, nhân với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} &\text{Với } x_1 = 2,85: (2,85 - 3,89)^2 \times 3 = (-1,04)^2 \times 3 = 1,0816 \times 3 = 3,2448 \\ &\text{Với } x_2 = 3,15: (3,15 - 3,89)^2 \times 6 = (-0,74)^2 \times 6 = 0,5476 \times 6 = 3,2856 \\ &\text{Với } x_3 = 3,45: (3,45 - 3,89)^2 \times 5 = (-0,44)^2 \times 5 = 0,1936 \times 5 = 0,968 \\ &\text{Với } x_4 = 3,75: (3,75 - 3,89)^2 \times 4 = (-0,14)^2 \times 4 = 0,0196 \times 4 = 0,0784 \\ &\text{Với } x_5 = 4,05: (4,05 - 3,89)^2 \times 2 = (0,16)^2 \times 2 = 0,0256 \times 2 = 0,0512 \\ \end{aligned} \] - Tổng các giá trị trên: \[ 3,2448 + 3,2856 + 0,968 + 0,0784 + 0,0512 = 7,628 \] - Phương sai: \[ s^2 = \frac{7,628}{20} = 0,3814 \] Do đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là \(0,3814\). Đáp án đúng là: B. 0,36. Câu 10 Phát biểu đúng là: A. $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$ Lý do: - Ta có $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'}$ - Mặt khác, $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}$ - Vì $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ nên ta có $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}$ - Thay vào ta có $\overrightarrow{DB'} = (\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{DD'}$ Vậy phát biểu đúng là A. $\overrightarrow{DB'} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DD'} + \overrightarrow{DC}$ Câu 11 Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 1]\), chúng ta sẽ dựa vào bảng biến thiên của hàm số. Bước 1: Xem xét giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của đoạn \([-1; 1]\): - Tại \( x = -1 \), giá trị của hàm số là \( f(-1) = -1 \). - Tại \( x = 1 \), giá trị của hàm số là \( f(1) = 1 \). Bước 2: Xem xét giá trị của hàm số tại các điểm cực tiểu trong đoạn \([-1; 1]\): - Từ bảng biến thiên, ta thấy rằng hàm số đạt giá trị cực tiểu tại \( x = 0 \) và giá trị đó là \( f(0) = -2 \). Bước 3: So sánh các giá trị đã tìm được: - \( f(-1) = -1 \) - \( f(1) = 1 \) - \( f(0) = -2 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -2 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = f(x) \) trên đoạn \([-1; 1]\) là \(-2\). Đáp án đúng là: C. \(-2\). Câu 12 Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( A(-1; -1; 1) \) và có một vectơ chỉ phương \( \vec{u}(1; 2; 3) \), ta sử dụng công thức phương trình tham số của đường thẳng trong không gian. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A(x_0; y_0; z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u}(a; b; c) \) là: \[ \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c} \] Áp dụng vào bài toán này: - Điểm \( A(-1; -1; 1) \) có tọa độ \( (x_0, y_0, z_0) = (-1, -1, 1) \) - Vectơ chỉ phương \( \vec{u}(1; 2; 3) \) có các thành phần \( (a, b, c) = (1, 2, 3) \) Thay vào công thức trên, ta có: \[ \frac{x - (-1)}{1} = \frac{y - (-1)}{2} = \frac{z - 1}{3} \] \[ \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{3} \] Vậy phương trình của đường thẳng là: \[ \frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{3} \] Do đó, đáp án đúng là: A. \(\frac{x + 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 1}{3}\). Câu 1 a) Ta có f(x) ≤ log₂(1/4) suy ra 4ˣ - 3·2ˣ ≤ -2. Đặt t = 2ˣ > 0, ta có t² - 3t + 2 ≤ 0 suy ra 1 ≤ t ≤ 2 suy ra 0 ≤ x ≤ 1. Vậy m = 0, n = 1 và 2025m + n = 1. Do đó khẳng định sai. b) Phương trình f(x) = 4 trở thành 4ˣ - 3·2ˣ - 4 = 0. Đặt t = 2ˣ > 0, ta có t² - 3t - 4 = 0 suy ra t = 4 suy ra x = 2. Vậy phương trình có 1 nghiệm. Do đó khẳng định đúng. c) Ta có log₅(125) = log₅(5³) = 3. Do đó khẳng định sai. d) Đặt t = 2ˣ > 0 thì phương trình f(x) = 4 trở thành t² - 3t - 4 = 0. Do đó khẳng định đúng. Câu 2 Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng 4. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất trong dải dữ liệu. Giá trị lớn nhất: 9 Giá trị nhỏ nhất: 5 Khoảng biến thiên = 9 - 5 = 4 Đáp án: Đúng b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là \[ \bar{x} = 7,45 \] Để tính số trung bình, ta sử dụng công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta có bảng dữ liệu như sau: | Điểm | Tần số | |------|--------| | 5 | 2 | | 6 | 3 | | 7 | 5 | | 8 | 4 | | 9 | 1 | Tính tổng số điểm: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i x_i = (5 \times 2) + (6 \times 3) + (7 \times 5) + (8 \times 4) + (9 \times 1) = 10 + 18 + 35 + 32 + 9 = 104 \] Tổng số lượng: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i = 2 + 3 + 5 + 4 + 1 = 15 \] Số trung bình: \[ \bar{x} = \frac{104}{15} \approx 6,93 \] Đáp án: Sai c) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (quy tròn đến hàng phần trăm) là \[ s \approx 1,34 \] Độ lệch chuẩn được tính bằng cách sử dụng công thức: \[ s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i}} \] Trước tiên, ta tính \((x_i - \bar{x})^2\) cho mỗi nhóm: | Điểm | Tần số | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | \(f_i (x_i - \bar{x})^2\) | |------|--------|-------------------|-----------------------|---------------------------| | 5 | 2 | 5 - 6,93 = -1,93 | (-1,93)^2 = 3,7249 | 2 × 3,7249 = 7,4498 | | 6 | 3 | 6 - 6,93 = -0,93 | (-0,93)^2 = 0,8649 | 3 × 0,8649 = 2,5947 | | 7 | 5 | 7 - 6,93 = 0,07 | (0,07)^2 = 0,0049 | 5 × 0,0049 = 0,0245 | | 8 | 4 | 8 - 6,93 = 1,07 | (1,07)^2 = 1,1449 | 4 × 1,1449 = 4,5796 | | 9 | 1 | 9 - 6,93 = 2,07 | (2,07)^2 = 4,2849 | 1 × 4,2849 = 4,2849 | Tổng: \[ \sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 7,4498 + 2,5947 + 0,0245 + 4,5796 + 4,2849 = 18,9335 \] Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{\frac{18,9335}{15}} \approx \sqrt{1,2622} \approx 1,12 \] Đáp án: Sai d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \[ \Delta Q = 5524 \] Khoảng tứ phân vị được tính bằng cách lấy Q3 trừ Q1. Q1 là giá trị ở vị trí 25% của dữ liệu, Q3 là giá trị ở vị trí 75% của dữ liệu. Tổng số lượng là 15, do đó: - Vị trí của Q1 là \(\frac{15}{4} = 3,75\), tức là khoảng giữa giá trị thứ 3 và thứ 4. - Vị trí của Q3 là \(\frac{3 \times 15}{4} = 11,25\), tức là khoảng giữa giá trị thứ 11 và thứ 12. Dựa vào tần số, ta thấy: - Q1 nằm trong nhóm có điểm 6 (vì 2 + 3 = 5, lớn hơn 3,75). - Q3 nằm trong nhóm có điểm 8 (vì 2 + 3 + 5 + 4 = 14, lớn hơn 11,25). Do đó, Q1 ≈ 6 và Q3 ≈ 8. Khoảng tứ phân vị: \[ \Delta Q = Q3 - Q1 = 8 - 6 = 2 \] Đáp án: Sai Tổng kết: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Câu 3 a) Đúng Giải: Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} \). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = x - 4 \). Ta thấy rằng: - Khi \( x = 0 \), ta có \( y = -4 \). Vậy điểm \( A(0, -4) \). - Khi \( y = 0 \), ta có \( x = 4 \). Vậy điểm \( B(4, 0) \). Diện tích tam giác \( OAB \) là: \[ S_{\Delta OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8. \] b) Sai Giải: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \( x = -2 \), không phải \( x = 2 \). c) Đúng Giải: Ta thực hiện phép chia \( x^2 - 2x + 1 \) cho \( x + 2 \): \[ x^2 - 2x + 1 = (x + 2)(x - 4) + 9. \] Do đó, ta có: \[ y = x - 4 + \frac{9}{x + 2}. \] Khi \( x \to \pm \infty \), \( \frac{9}{x + 2} \to 0 \), vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là \( y = x - 4 \). d) Đúng Giải: Ta tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2} \): \[ y' = \frac{(x^2 - 2x + 1)'(x + 2) - (x^2 - 2x + 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2} = \frac{(2x - 2)(x + 2) - (x^2 - 2x + 1)}{(x + 2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2x - 4 - x^2 + 2x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{x^2 + 4x - 5}{(x + 2)^2}. \] Đáp án: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Đúng Câu 4 Để giải quyết các câu hỏi về diện tích và thể tích liên quan đến hình phẳng (H), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. a) Diện tích \( S_1 = 2\pi \) Diện tích \( S_1 \) là diện tích của một phần của đường tròn có bán kính \( R = 2 \). Phần này là một phần tư của đường tròn (do nó giới hạn bởi đường thẳng \( y = 4 - x \) và trục hoành). Diện tích của toàn bộ đường tròn là: \[ A_{\text{đường tròn}} = \pi R^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi \] Diện tích của một phần tư đường tròn là: \[ S_1 = \frac{1}{4} \times 4\pi = \pi \] Vậy, câu trả lời là: - Đúng: \( S_1 = \pi \) - Sai: \( S_1 = 2\pi \) b) Diện tích \( S_2 = \frac{16}{3} \) Diện tích \( S_2 \) là diện tích dưới đường cong \( y = 4 - x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \). Ta tính diện tích này bằng cách tích phân: \[ S_2 = \int_{0}^{4} (4 - x) \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{4} (4 - x) \, dx = \left[ 4x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} \] \[ = \left( 4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2} \right) - \left( 4 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} \right) \] \[ = \left( 16 - 8 \right) - 0 \] \[ = 8 \] Vậy, câu trả lời là: - Đúng: \( S_2 = 8 \) - Sai: \( S_2 = \frac{16}{3} \) c) Thể tích của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục hoành là \( \frac{28\pi}{3} \) Thể tích của khối tạo thành khi cho hình (H) quay quanh trục hoành bao gồm hai phần: thể tích của một phần tư khối cầu và thể tích của khối tạo thành từ phần \( S_2 \). Thể tích của một phần tư khối cầu: \[ V_{\text{khối cầu}} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \pi \cdot 2^3 = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \pi \cdot 8 = \frac{8\pi}{3} \] Thể tích của khối tạo thành từ phần \( S_2 \): \[ V_{S_2} = \pi \int_{0}^{4} (4 - x)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{4} (4 - x)^2 \, dx = \int_{0}^{4} (16 - 8x + x^2) \, dx \] \[ = \left[ 16x - 4x^2 + \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{4} \] \[ = \left( 16 \cdot 4 - 4 \cdot 4^2 + \frac{4^3}{3} \right) - \left( 16 \cdot 0 - 4 \cdot 0^2 + \frac{0^3}{3} \right) \] \[ = \left( 64 - 64 + \frac{64}{3} \right) - 0 \] \[ = \frac{64}{3} \] Thể tích tổng cộng: \[ V_{\text{tổng cộng}} = \frac{8\pi}{3} + \frac{64\pi}{3} = \frac{72\pi}{3} = 24\pi \] Vậy, câu trả lời là: - Đúng: \( V_{\text{tổng cộng}} = 24\pi \) - Sai: \( V_{\text{tổng cộng}} = \frac{28\pi}{3} \) d) Thể tích vật thể khi quay phần \( S_2 \) quanh trục hoành là \( \pi \int_{0}^{4} (4 - x) \, dx = 8\pi \) Thể tích của vật thể khi quay phần \( S_2 \) quanh trục hoành đã được tính ở phần trên: \[ V_{S_2} = \pi \int_{0}^{4} (4 - x)^2 \, dx = \frac{64\pi}{3} \] Vậy, câu trả lời là: - Đúng: \( V_{S_2} = \frac{64\pi}{3} \) - Sai: \( V_{S_2} = 8\pi \) Kết luận: - a) Sai - b) Sai - c) Sai - d) Sai Câu 1 Trước tiên, chúng ta sẽ xác định tọa độ của vị trí ban đầu và vị trí mới của chiếc đèn trong hệ tọa độ Oxyz, với O là điểm giao của hai bức tường và trần nhà. 1. Vị trí ban đầu của đèn: - Cách trần nhà 0,5 m: z = 0,5 - Cách bức tường thứ nhất 1,2 m: x = 1,2 - Cách bức tường thứ hai 1,6 m: y = 1,6 Vậy tọa độ ban đầu của đèn là \( (1,2; 1,6; 0,5) \). 2. Vị trí mới của đèn: - Cách trần nhà 0,3 m: z = 0,3 - Cách đều hai bức tường là 2 m: x = 2 và y = 2 Vậy tọa độ mới của đèn là \( (2; 2; 0,3) \). 3. Tính khoảng cách giữa hai vị trí: Ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{(2 - 1,2)^2 + (2 - 1,6)^2 + (0,3 - 0,5)^2} \] \[ d = \sqrt{(0,8)^2 + (0,4)^2 + (-0,2)^2} \] \[ d = \sqrt{0,64 + 0,16 + 0,04} \] \[ d = \sqrt{0,84} \] \[ d \approx 0,92 \text{ m} \] Vậy vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu khoảng 0,92 mét. Câu 2 Để tính xác suất để 2 học sinh lớp C không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi cạnh học sinh lớp A, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách xếp 7 học sinh vào 7 ghế: Tổng số cách xếp 7 học sinh vào 7 ghế là: \[ 7! = 5040 \] 2. Tìm số cách xếp sao cho 2 học sinh lớp C không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi cạnh học sinh lớp A: - Đầu tiên, chúng ta xếp 3 học sinh lớp A và 2 học sinh lớp B vào 5 ghế. Số cách xếp 5 học sinh này vào 5 ghế là: \[ 5! = 120 \] - Sau khi xếp 5 học sinh này, chúng ta có 6 khoảng trống (gồm cả hai đầu hàng ghế) để chèn 2 học sinh lớp C vào. Chúng ta cần chọn 2 trong 6 khoảng trống này để chèn 2 học sinh lớp C vào, sao cho chúng không kề nhau và không kề học sinh lớp A. Số cách chọn 2 khoảng trống từ 6 khoảng trống là: \[ \binom{6}{2} = 15 \] - Số cách xếp 2 học sinh lớp C vào 2 khoảng trống đã chọn là: \[ 2! = 2 \] Vậy tổng số cách xếp sao cho 2 học sinh lớp C không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi cạnh học sinh lớp A là: \[ 120 \times 15 \times 2 = 3600 \] 3. Tính xác suất: Xác suất để 2 học sinh lớp C không ngồi cạnh nhau và cũng không ngồi cạnh học sinh lớp A là: \[ \frac{3600}{5040} = \frac{5}{7} \] 4. Tính \(2a + b\): Trong phân số tối giản \(\frac{5}{7}\), ta có \(a = 5\) và \(b = 7\). Vậy: \[ 2a + b = 2 \times 5 + 7 = 10 + 7 = 17 \] Đáp số: 17 Câu 3 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm điểm M trên mặt đất sao cho tổng khoảng cách MA + MB ngắn nhất. Ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng và khoảng cách trong không gian. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm: - Khinh khí cầu A có tọa độ A(1; -5; 7) - Khinh khí cầu B có tọa độ B(6; 5; 4) Bước 2: Tìm hình chiếu của điểm A và B lên mặt phẳng (Oxy): - Hình chiếu của A lên (Oxy) là A'(1; -5; 0) - Hình chiếu của B lên (Oxy) là B'(6; 5; 0) Bước 3: Tìm điểm M trên mặt đất sao cho MA + MB ngắn nhất: - Điểm M sẽ nằm trên đường thẳng nối A' và B'. Bước 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua A' và B': - Vector AB' = (6 - 1; 5 - (-5); 0 - 0) = (5; 10; 0) - Phương trình tham số của đường thẳng qua A' và B' là: \[ \begin{cases} x = 1 + 5t \\ y = -5 + 10t \\ z = 0 \end{cases} \] Bước 5: Tìm tọa độ của điểm M: - Vì M nằm trên mặt đất nên z = 0. Do đó, tọa độ của M là (1 + 5t; -5 + 10t; 0). Bước 6: Tính khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O(0; 0; 0): - Khoảng cách OM = $\sqrt{(1 + 5t)^2 + (-5 + 10t)^2 + 0^2}$ - Để tối ưu hóa khoảng cách này, ta cần tìm giá trị của t sao cho khoảng cách này ngắn nhất. Ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm giá trị t tối ưu. Bước 7: Tính đạo hàm và tìm giá trị t: - Đạo hàm của OM theo t: \[ \frac{d(OM)}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\sqrt{(1 + 5t)^2 + (-5 + 10t)^2}\right) \] \[ = \frac{1}{2\sqrt{(1 + 5t)^2 + (-5 + 10t)^2}} \cdot \left(2(1 + 5t) \cdot 5 + 2(-5 + 10t) \cdot 10\right) \] \[ = \frac{10(1 + 5t) + 20(-5 + 10t)}{\sqrt{(1 + 5t)^2 + (-5 + 10t)^2}} \] \[ = \frac{10 + 50t - 100 + 200t}{\sqrt{(1 + 5t)^2 + (-5 + 10t)^2}} \] \[ = \frac{250t - 90}{\sqrt{(1 + 5t)^2 + (-5 + 10t)^2}} \] - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị t: \[ 250t - 90 = 0 \] \[ t = \frac{90}{250} = \frac{9}{25} \] Bước 8: Thay t = $\frac{9}{25}$ vào phương trình tọa độ của M: - x = 1 + 5($\frac{9}{25}$) = 1 + $\frac{45}{25}$ = 1 + 1.8 = 2.8 - y = -5 + 10($\frac{9}{25}$) = -5 + $\frac{90}{25}$ = -5 + 3.6 = -1.4 Bước 9: Tính khoảng cách từ M đến gốc tọa độ O: - OM = $\sqrt{(2.8)^2 + (-1.4)^2}$ - OM = $\sqrt{7.84 + 1.96}$ - OM = $\sqrt{9.8}$ - OM ≈ 3.13 Vậy khoảng cách từ M đến gốc tọa độ là khoảng 3.1 (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Câu 4 Để tính giá trị của $\tan \alpha$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều cao của đáy (hình tam giác đều ABC): - Vì ABC là tam giác đều, chiều cao từ đỉnh A xuống cạnh BC sẽ chia đôi cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau. - Chiều cao của tam giác đều ABC là: \[ h_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times AB = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \] 2. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC): - Gọi O là tâm của tam giác đều ABC, thì SO là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). - Ta có: \[ SO^2 + OA^2 = SA^2 \] Trong đó, OA là khoảng cách từ tâm O đến đỉnh A của tam giác đều ABC, và OA cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC: \[ OA = \frac{AB}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \] Thay vào công thức trên: \[ SO^2 + \left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 3^2 \] \[ SO^2 + \frac{4 \times 3}{9} = 9 \] \[ SO^2 + \frac{4}{3} = 9 \] \[ SO^2 = 9 - \frac{4}{3} = \frac{27}{3} - \frac{4}{3} = \frac{23}{3} \] \[ SO = \sqrt{\frac{23}{3}} \] 3. Tính góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABC): - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng (ABC). Ta có góc giữa SO và mặt phẳng (ABC) là góc SOH. - Ta có: \[ \tan \angle SOH = \frac{SO}{OH} \] Trong đó, OH là khoảng cách từ O đến cạnh BC, và OH cũng là khoảng cách từ tâm O đến cạnh của tam giác đều ABC: \[ OH = \frac{h_{ABC}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} \] Thay vào công thức trên: \[ \tan \angle SOH = \frac{\sqrt{\frac{23}{3}}}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{\frac{23}{3}} \times \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{23}{3}} \times \sqrt{3} = \sqrt{23} \] 4. Kết luận: - Giá trị của $\tan \alpha$ là $\sqrt{23}$. - Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ \sqrt{23} \approx 4.8 \] Đáp số: $\tan \alpha \approx 4.8$. Câu 5 Giả sử công ty giảm số tiền cước thuê bao là \( x \) (đơn vị: $). Số lượng thuê bao tăng thêm sẽ là \( 1000x \) (thuê bao). Số lượng thuê bao mới là: \[ 100000 + 1000x \] Mức cước thuê bao mới là: \[ 40 - x \] Doanh thu mới là: \[ (100000 + 1000x)(40 - x) \] Ta cần tìm giá trị của \( x \) để doanh thu mới đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm số: \[ f(x) = (100000 + 1000x)(40 - x) \] \[ f(x) = 100000 \cdot 40 + 100000 \cdot (-x) + 1000x \cdot 40 + 1000x \cdot (-x) \] \[ f(x) = 4000000 - 100000x + 40000x - 1000x^2 \] \[ f(x) = 4000000 - 60000x - 1000x^2 \] Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số này, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại: \[ f'(x) = -60000 - 2000x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm giá trị của \( x \): \[ -60000 - 2000x = 0 \] \[ 2000x = -60000 \] \[ x = -\frac{60000}{2000} \] \[ x = 30 \] Vậy, để doanh thu tối đa, công ty cần giảm cước thuê bao là 30$. Mức cước thuê bao mới là: \[ 40 - 30 = 10 \] Đáp số: 10$ Câu 6 Để tính thể tích chứa nước của Lavabo, ta cần tính thể tích của nửa khối elip tròn xoay và trừ đi thể tích của phần dày của Lavabo. Bước 1: Tính bán kính của mặt trên Lavabo. - Chiều dài: 660 mm - Chiều rộng: 380 mm Bán kính lớn (a) = 660 / 2 = 330 mm Bán kính nhỏ (b) = 380 / 2 = 190 mm Bước 2: Tính thể tích của nửa khối elip tròn xoay. Thể tích của khối elip tròn xoay là: \[ V_{\text{elip}} = \frac{4}{3} \pi a b^2 \] Thể tích của nửa khối elip tròn xoay là: \[ V_{\text{nửa elip}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi a b^2 = \frac{2}{3} \pi a b^2 \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức. \[ V_{\text{nửa elip}} = \frac{2}{3} \pi \times 330 \times 190^2 \] \[ V_{\text{nửa elip}} = \frac{2}{3} \pi \times 330 \times 36100 \] \[ V_{\text{nửa elip}} = \frac{2}{3} \pi \times 11913000 \] \[ V_{\text{nửa elip}} = \frac{23826000}{3} \pi \] \[ V_{\text{nửa elip}} \approx 25086000 \text{ mm}^3 \] Bước 4: Tính thể tích của phần dày của Lavabo. Phần dày Lavabo là 20 mm, do đó chiều cao của phần dày là 20 mm. Thể tích của phần dày là: \[ V_{\text{dày}} = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] \[ V_{\text{dày}} = \pi a b \times 20 \] \[ V_{\text{dày}} = \pi \times 330 \times 190 \times 20 \] \[ V_{\text{dày}} = \pi \times 330 \times 3800 \] \[ V_{\text{dày}} = \pi \times 1254000 \] \[ V_{\text{dày}} \approx 3939600 \text{ mm}^3 \] Bước 5: Tính thể tích chứa nước của Lavabo. \[ V_{\text{chứa nước}} = V_{\text{nửa elip}} - V_{\text{dày}} \] \[ V_{\text{chứa nước}} \approx 25086000 - 3939600 \] \[ V_{\text{chứa nước}} \approx 21146400 \text{ mm}^3 \] Chuyển đổi đơn vị từ mm³ sang lít (1 lít = 1000 cm³ = 1000000 mm³): \[ V_{\text{chứa nước}} \approx \frac{21146400}{1000000} \] \[ V_{\text{chứa nước}} \approx 21.1 \text{ lít} \] Đáp số: Thể tích chứa nước của Lavabo là 21.1 lít.