Nznsjjsjssjxjxjx

Câu 8: Để tính $\int x^5 dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$. Trong trường hợp này, $n = 5$. Do đó, ta có: \[ \int x^5 dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = \frac{x^6}{6} + C = \frac{1}{6} x^6 + C. \] Vậy đáp án đúng là: \[ B)~\frac{1}{6} x^6 + C. \] Câu 9: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \log_3(2x - 4) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: \[ 2x - 4 > 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 2x > 4 \] \[ x > 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( (2, +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(2;+\infty) \] Câu 10: Để kiểm tra tính đúng đắn của các phát biểu đã cho, chúng ta sẽ xét từng phát biểu một: A. $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ - Đây là quy tắc chia lũy thừa cùng cơ sở. Nếu $a \neq 0$, thì phát biểu này đúng. B. $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ - Đây là quy tắc lũy thừa của lũy thừa. Phát biểu này đúng. C. $(a + b)^m = a^m + b^m$ - Đây là phát biểu sai. $(a + b)^m$ không bằng $a^m + b^m$. Ví dụ, $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, không phải $a^2 + b^2$. D. $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ - Đây là quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ sở. Phát biểu này đúng. Tóm lại: - A. Đúng - B. Đúng - C. Sai - D. Đúng Vậy các phát biểu đúng là A, B và D. Câu 11: Để tìm $u_5$, ta sử dụng công thức của cấp số nhân: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Trong đó: - $u_1 = -4$ - $q = \frac{1}{2}$ - $n = 5$ Thay vào công thức: \[ u_5 = -4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} \] \[ u_5 = -4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 \] \[ u_5 = -4 \cdot \frac{1}{16} \] \[ u_5 = -\frac{4}{16} \] \[ u_5 = -\frac{1}{4} \] Vậy mệnh đề đúng là: \[ A.~u_5 = -\frac{1}{4} \] Câu 12: Để tính xác suất để 3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển là môn toán, ta sẽ tính xác suất để 3 quyển lấy ra không có quyển nào là môn toán và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất này. Tổng số cách chọn 3 quyển sách từ 9 quyển sách là: \[ C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84 \] Số cách chọn 3 quyển sách không có quyển nào là môn toán (tức là chỉ chọn từ 5 quyển sách lý và hóa): \[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10 \] Xác suất để 3 quyển lấy ra không có quyển nào là môn toán là: \[ P(\text{không có quyển nào là môn toán}) = \frac{C_5^3}{C_9^3} = \frac{10}{84} = \frac{5}{42} \] Xác suất để 3 quyển lấy ra có ít nhất 1 quyển là môn toán là: \[ P(\text{ít nhất 1 quyển là môn toán}) = 1 - P(\text{không có quyển nào là môn toán}) = 1 - \frac{5}{42} = \frac{37}{42} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{37}{42}} \] Câu 1: Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định các điểm cực trị. 2. Xác định các điểm cực trị và tính giá trị của chúng. 3. Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số. 4. Tính diện tích tam giác ABC nếu cần thiết. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 1) = 3x^2 - 3 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị: \[ y' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \] \[ y''(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \] Vậy \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6(1) = 6 > 0 \] Vậy \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] Vậy điểm cực đại là \( (-1, 3) \). - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] Vậy điểm cực tiểu là \( (1, -1) \). Bước 5: Kiểm tra tính đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \), \( y' = 3x^2 - 3 > 0 \) (vì \( x^2 > 1 \)), hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (-1, 1) \), \( y' = 3x^2 - 3 < 0 \) (vì \( x^2 < 1 \)), hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (1, \infty) \), \( y' = 3x^2 - 3 > 0 \) (vì \( x^2 > 1 \)), hàm số đồng biến. Bước 6: Kiểm tra các mệnh đề: a) Điểm cực tiểu của hàm số là \( x = 1 \). Đúng. b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Sai, vì trên khoảng này hàm số nghịch biến. c) Giả sử hàm số đã cho có hai điểm cực trị là \( x_1 \) và \( x_2 \). Khi đó giá trị \( x_1 \cdot x_2 = -1 \). Đúng, vì \( x_1 = -1 \) và \( x_2 = 1 \), vậy \( x_1 \cdot x_2 = (-1) \cdot 1 = -1 \). d) Gọi A, B lần lượt là điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Khi đó, diện tích tam giác ABC là 12 với \( C(-1, 2) \). - Điểm cực đại \( A(-1, 3) \) - Điểm cực tiểu \( B(1, -1) \) - Điểm \( C(-1, 2) \) Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -1(-1 - 2) + 1(2 - 3) + (-1)(3 - (-1)) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -1(-3) + 1(-1) + (-1)(4) \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| 3 - 1 - 4 \right| \] \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \left| -2 \right| = 1 \] Vậy mệnh đề d) là sai. Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Đúng d) Sai Câu 2: a) Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian 5 giây đầu tiên là: \[ s_1 = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} 10t \, dt = \left[ 5t^2 \right]_{0}^{5} = 5(5^2 - 0^2) = 125 \, \text{m} \] Mệnh đề này sai vì quãng đường là 125 m, không phải 50 m. b) Gia tốc chuyển động của ô tô là: \[ a = \frac{dv}{dt} = \frac{d(10t)}{dt} = 10 \, \text{m/s}^2 \] Mệnh đề này đúng. c) Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian từ 5 giây đến 10 giây là: \[ s_2 = \int_{5}^{10} v(t) \, dt = \int_{5}^{10} 10t \, dt = \left[ 5t^2 \right]_{5}^{10} = 5(10^2 - 5^2) = 5(100 - 25) = 375 \, \text{m} \] Mệnh đề này đúng. d) Sau 10 giây, vận tốc của ô tô là: \[ v(10) = 10 \times 10 = 100 \, \text{m/s} \] Quãng đường ô tô đi được trong 10 giây đầu tiên là: \[ s_1 = 125 \, \text{m} \] \[ s_2 = 375 \, \text{m} \] Tổng quãng đường sau 10 giây là: \[ s_{10} = s_1 + s_2 = 125 + 375 = 500 \, \text{m} \] Khi phanh gấp với gia tốc \( a = -40 \, \text{m/s}^2 \), thời gian để dừng hẳn là: \[ t = \frac{v}{|a|} = \frac{100}{40} = 2.5 \, \text{s} \] Quãng đường ô tô đi được trong quá trình phanh là: \[ s_{phanh} = \frac{v^2}{2|a|} = \frac{100^2}{2 \times 40} = \frac{10000}{80} = 125 \, \text{m} \] Tổng quãng đường từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc dừng hẳn là: \[ s_{tong} = s_{10} + s_{phanh} = 500 + 125 = 625 \, \text{m} \] Mệnh đề này đúng. Đáp số: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng. Câu 3: a) Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là $(1;3;-2).$ b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $G(1;\frac23;\frac23).$ c) Tọa độ hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng Oxy là $H(0;0;-2).$ d) Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow x=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}.$ Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow x=(-4;12;14).$ Giải chi tiết: a) Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1; 1 + 2; -2 - 0) = (1; 3; -2) \] b) Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \[ G = \left(\frac{1+2+0}{3}; \frac{-2+1+3}{3}; \frac{0-2+4}{3}\right) = \left(1; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right) \] c) Tọa độ hình chiếu của điểm B trên mặt phẳng Oxy là: \[ H = (0; 0; -2) \] d) Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow x=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{BC}.$ Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow{BC}$ là: \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 2; 3 - 1; 4 + 2) = (-2; 2; 6) \] Tọa độ của véc tơ $\overrightarrow x$ là: \[ \overrightarrow x = 2\overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{BC} = 2(1; 3; -2) - 3(-2; 2; 6) = (2; 6; -4) - (-6; 6; 18) = (2 + 6; 6 - 6; -4 - 18) = (8; 0; -22) \] Đáp số: a) $(1; 3; -2)$ b) $\left(1; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)$ c) $(0; 0; -2)$ d) $(8; 0; -22)$