Giải câu trắc nghiệm

Câu 4: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(1; -1; 2) \) và nhận vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} = (2; 4; -6) \) có dạng: \[ 2(x - 1) + 4(y + 1) - 6(z - 2) = 0 \] Ta sẽ mở rộng biểu thức này: \[ 2x - 2 + 4y + 4 - 6z + 12 = 0 \] Gộp các hằng số lại: \[ 2x + 4y - 6z + 14 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ x + 2y - 3z + 7 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ x + 2y - 3z + 7 = 0 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~x + 2y - 3z + 7 = 0 \] Câu 5: Để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) từ phương trình tham số của nó, ta cần so sánh với dạng chuẩn của phương trình đường thẳng trong không gian. Phương trình đường thẳng (d) được cho dưới dạng: \[ j: \frac{x+1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+2}{3}. \] Từ đây, ta thấy rằng đường thẳng (d) có các hệ số tương ứng với các biến \(x\), \(y\), và \(z\) là 1, 2, và 3. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) sẽ có các thành phần tương ứng với các hệ số này. Ta có: - Hệ số của \(x\) là 1, - Hệ số của \(y\) là 2, - Hệ số của \(z\) là 3. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) là \(\overrightarrow{u} = (1; 2; 3)\). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\overrightarrow{u} = (1; 2; 3). \] Câu 6: Phương trình mặt cầu có tâm $A(a,b,c)$ và bán kính $R$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$. Trong bài này, tâm mặt cầu là $A(1,-2,2)$ và bán kính $R = 8$. Do đó, phương trình mặt cầu sẽ là: \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 8^2 \] \[ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 64 \] Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \[ (S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 64 \] Đáp án đúng là: \[ D.~(S): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + (z - 2)^2 = 64 \] Câu 7: Phát biểu đúng về xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là: B. Nếu $P(B) > 0$ thì $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Lập luận từng bước: - Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được ký hiệu là $P(A|B)$. - Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, nếu $P(B) > 0$, ta có: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \] Do đó, phát biểu đúng là: B. Nếu $P(B) > 0$ thì $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Câu 8: Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu. 2. Tính khoảng biến thiên bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất nằm trong nhóm có giới hạn trên lớn nhất, đó là nhóm [60;65). Giá trị lớn nhất có thể là 65 cm (giới hạn trên của nhóm này). - Giá trị nhỏ nhất nằm trong nhóm có giới hạn dưới nhỏ nhất, đó là nhóm [40;45). Giá trị nhỏ nhất có thể là 40 cm (giới hạn dưới của nhóm này). Bước 2: Tính khoảng biến thiên: Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất Khoảng biến thiên = 65 - 40 = 25 Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 25. Đáp án đúng là: A. 25. Câu 9: Khoảng tứ phân vị của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy tứ phân vị thứ ba trừ đi tứ phân vị thứ nhất. Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \[ Q_3 - Q_1 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~Q_3 - Q_1 \] Câu 10: Để tìm thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) (với \( a < b \)) quanh trục Ox, ta sử dụng công thức tính thể tích của khối tròn xoay. Công thức thể tích của khối tròn xoay khi quay một miền giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục Ox là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng đáp án đúng là: \[ D.~V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx} \] Câu 11: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{N} \] Trong đó: - \(f_i\) là tần số của nhóm thứ \(i\), - \(x_i\) là giá trị đại diện của nhóm thứ \(i\), - \(N\) là tổng số lượng mẫu. Ta có: \[ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{(4 \times 42,5) + (14 \times 47,5) + (8 \times 52,5) + (10 \times 57,5) + (6 \times 62,5) + (2 \times 67,5)}{44} \\ &= \frac{(170) + (665) + (420) + (575) + (375) + (135)}{44} \\ &= \frac{2340}{44} \\ &= 53,1818 \approx 53,18 \end{aligned} \] 2. Tính phương sai: Phương sai \(S^2\) của mẫu số liệu ghép nhóm được tính theo công thức: \[ S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{N} \] Ta tính từng phần: \[ \begin{aligned} (42,5 - 53,18)^2 &\approx 114,9124 \\ (47,5 - 53,18)^2 &\approx 32,2564 \\ (52,5 - 53,18)^2 &\approx 0,4624 \\ (57,5 - 53,18)^2 &\approx 18,4964 \\ (62,5 - 53,18)^2 &\approx 87,6164 \\ (67,5 - 53,18)^2 &\approx 199,8124 \\ \end{aligned} \] Tính tổng: \[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2 &= 4 \times 114,9124 + 14 \times 32,2564 + 8 \times 0,4624 + 10 \times 18,4964 + 6 \times 87,6164 + 2 \times 199,8124 \\ &= 459,6496 + 451,5896 + 3,6992 + 184,964 + 525,6984 + 399,6248 \\ &= 2025,1256 \end{aligned} \] Cuối cùng, tính phương sai: \[ S^2 = \frac{2025,1256}{44} \approx 46,0256 \approx 46,03 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 46,03. Do đó, đáp án đúng là: B. 46,1. Câu 12: Dân số thế giới được tính theo công thức $S = A \cdot e^{rt}$, trong đó: - $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, - $S$ là dân số sau thời gian $t$ năm, - $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005, dân số Việt Nam là 80,902,400 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47% một năm. Chúng ta cần tìm thời gian $t$ để dân số Việt Nam đạt 93,713,000 người. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết: - $A = 80,902,400$ - $S = 93,713,000$ - $r = 0,0147$ Bước 2: Thay các giá trị vào công thức: \[ 93,713,000 = 80,902,400 \cdot e^{0,0147t} \] Bước 3: Chia cả hai vế cho 80,902,400: \[ \frac{93,713,000}{80,902,400} = e^{0,0147t} \] \[ 1,1582 = e^{0,0147t} \] Bước 4: Lấy logarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ \ln(1,1582) = \ln(e^{0,0147t}) \] \[ \ln(1,1582) = 0,0147t \] Bước 5: Tính $\ln(1,1582)$: \[ \ln(1,1582) \approx 0,147 \] Bước 6: Giải phương trình để tìm $t$: \[ 0,147 = 0,0147t \] \[ t = \frac{0,147}{0,0147} \] \[ t \approx 10 \] Bước 7: Kết luận: Nếu tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi, thì tối thiểu đến năm 2015 (2005 + 10 năm), dân số Việt Nam sẽ đạt khoảng 93,713,000 người. Đáp án đúng là: A. 2015.