Giải hộ e ại

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + e^{2x} \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần riêng lẻ của mỗi thành phần trong tổng. 1. Tìm nguyên hàm của \( x \): \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( e^{2x} \): \[ \int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C_2 \] Gộp lại, ta có: \[ \int (x + e^{2x}) \, dx = \frac{x^2}{2} + \frac{e^{2x}}{2} + C \] Trong đó, \( C = C_1 + C_2 \) là hằng số tích phân. Do đó, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x + e^{2x} \) là: \[ \frac{x^2}{2} + \frac{e^{2x}}{2} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{x^2+e^{2x}}{2}+C \] Câu 2. Ta có: \[ \int^2_0 [f(x) - 3x^2] \, dx = 4 \] Áp dụng tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^2_0 f(x) \, dx - \int^2_0 3x^2 \, dx = 4 \] Tính tích phân \(\int^2_0 3x^2 \, dx\): \[ \int^2_0 3x^2 \, dx = 3 \int^2_0 x^2 \, dx = 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]^2_0 = \left[ x^3 \right]^2_0 = 2^3 - 0^3 = 8 \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ \int^2_0 f(x) \, dx - 8 = 4 \] Giải phương trình này để tìm \(\int^2_0 f(x) \, dx\): \[ \int^2_0 f(x) \, dx = 4 + 8 = 12 \] Vậy tích phân \(\int^2_0 f(x) \, dx\) bằng 12. Đáp án đúng là: C. 12. Câu 3. Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số, ta cần xem xét bảng biến thiên của hàm số. Bảng biến thiên cho thấy các khoảng tăng và giảm của hàm số. Trong bảng biến thiên: - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (-\infty; -1) \), hàm số tăng. - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (-1; 3) \), hàm số giảm. - Khi \( x \) thuộc khoảng \( (3; +\infty) \), hàm số tăng. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1; 3) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(-1;3). \] Đáp số: \( C.~(-1;3). \) Câu 4. Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng $(P):~2x-y+z-5=0$ hay không, ta thay tọa độ của điểm vào phương trình mặt phẳng và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ của điểm $M(1;-1;0)$ vào phương trình mặt phẳng: \[2(1) - (-1) + 0 - 5 = 2 + 1 + 0 - 5 = -2 \neq 0\] Do đó, điểm $M$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ của điểm $N(1;-1;2)$ vào phương trình mặt phẳng: \[2(1) - (-1) + 2 - 5 = 2 + 1 + 2 - 5 = 0\] Do đó, điểm $N$ thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ của điểm $P(1;-1;4)$ vào phương trình mặt phẳng: \[2(1) - (-1) + 4 - 5 = 2 + 1 + 4 - 5 = 2 \neq 0\] Do đó, điểm $P$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ của điểm $Q(1;-1;3)$ vào phương trình mặt phẳng: \[2(1) - (-1) + 3 - 5 = 2 + 1 + 3 - 5 = 1 \neq 0\] Do đó, điểm $Q$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Vậy điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là điểm $N(1;-1;2)$. Đáp án đúng là: $B.~N(1;-1;2)$. Câu 5. Để tìm độ lệch tiêu chuẩn của mẫu số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch tiêu chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Ta tính trung bình cộng theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Trong đó: - \( x_i \) là giá trị trung tâm của mỗi khoảng. - \( f_i \) là tần số của mỗi khoảng. Giá trị trung tâm của mỗi khoảng là: - [4;6): 5 - [6;8): 7 - [8;10): 9 - [10;12): 11 - [12;14): 13 Tần số tương ứng là: - 6, 12, 19, 9, 4 Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{(5 \times 6) + (7 \times 12) + (9 \times 19) + (11 \times 9) + (13 \times 4)}{6 + 12 + 19 + 9 + 4} \] \[ \bar{x} = \frac{30 + 84 + 171 + 99 + 52}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{436}{50} \] \[ \bar{x} = 8.72 \] Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai \( s^2 \) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{n} f_i} \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{(6 \times (5 - 8.72)^2) + (12 \times (7 - 8.72)^2) + (19 \times (9 - 8.72)^2) + (9 \times (11 - 8.72)^2) + (4 \times (13 - 8.72)^2)}{50} \] \[ s^2 = \frac{(6 \times (-3.72)^2) + (12 \times (-1.72)^2) + (19 \times (0.28)^2) + (9 \times (2.28)^2) + (4 \times (4.28)^2)}{50} \] \[ s^2 = \frac{(6 \times 13.8384) + (12 \times 2.9584) + (19 \times 0.0784) + (9 \times 5.1984) + (4 \times 18.3184)}{50} \] \[ s^2 = \frac{83.0304 + 35.5008 + 1.4896 + 46.7856 + 73.2736}{50} \] \[ s^2 = \frac{239.0792}{50} \] \[ s^2 = 4.781584 \] Bước 3: Tính độ lệch tiêu chuẩn từ phương sai Độ lệch tiêu chuẩn \( s \) được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} \] \[ s = \sqrt{4.781584} \] \[ s \approx 2.19 \] Vậy độ lệch tiêu chuẩn của mẫu số liệu là 2.19 (làm tròn đến hàng phần trăm). Đáp án đúng là: A. 2,19. Câu 6. Để tìm phương trình đường thẳng AB trong không gian Oxyz, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB có thể được tìm bằng cách lấy tọa độ của điểm B trừ đi tọa độ của điểm A. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 1, 1 - (-2), 1 - 3) = (2, 3, -2) \] Phương trình đường thẳng AB đi qua điểm A(1, -2, 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (2, 3, -2)$ sẽ có dạng: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 2}{3} = \frac{z - 3}{-2} \] Do đó, phương án đúng là: \[ B.~\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{-2}. \]