Giải cho tôi câu này với

Để tìm số điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$, ta cần xác định các giá trị $x$ mà tại đó đạo hàm $f'(x)$ bằng $0$ hoặc không xác định, và $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua các giá trị đó.

Đề bài cho biết hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm là $f'(x) = x(x-1)^2(x-2)^3$.

Đạo hàm $f'(x)$ luôn xác định trên $\mathbb{R}$.

Ta tìm các điểm mà $f'(x) = 0$:

$x(x-1)^2(x-2)^3 = 0$

Các nghiệm của phương trình này là:

*  $x = 0$

*  $x - 1 = 0 \implies x = 1$

*  $x - 2 = 0 \implies x = 2$

Bây giờ ta xét dấu của $f'(x)$ trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này.

Ta có $f'(x) = x \cdot (x-1)^2 \cdot (x-2)^3$.

Lưu ý rằng $(x-1)^2 \ge 0$ với mọi $x$, và chỉ bằng $0$ tại $x=1$. Do số mũ là $2$ (số chẵn), nhân tử $(x-1)^2$ không làm thay đổi dấu của $f'(x)$ khi $x$ đi qua $x=1$. Vì vậy, $x=1$ không phải là điểm cực trị.

Ta chỉ cần xét dấu của các nhân tử có số mũ lẻ: $x$ (số mũ $1$) và $(x-2)^3$ (số mũ $3$).

Bảng xét dấu của $f'(x)$:

| Khoảng      | $x$  | $(x-1)^2$ | $(x-2)^3$ | $f'(x)$           | Chiều biến thiên của $f(x)$ |

| :--------------- | :---- | :-------- | :-------- | :-------------------------- | :-------------------------- |

| $x < 0$     | $-$  | $+$    | $-$    | $(-) \cdot (+) \cdot (-) = +$ | Đồng biến          |

| $x = 0$     | $0$  |      |      | $0$             |               |

| $0 < x < 1$   | $+$  | $+$    | $-$    | $(+) \cdot (+) \cdot (-) = -$ | Nghịch biến         |

| $x = 1$     | $1$  |      |      | $0$             |               |

| $1 < x < 2$   | $+$  | $+$    | $-$    | $(+) \cdot (+) \cdot (-) = -$ | Nghịch biến         |

| $x = 2$     | $2$  |      |      | $0$             |               |

| $x > 2$     | $+$  | $+$    | $+$    | $(+) \cdot (+) \cdot (+) = +$ | Đồng biến          |

Dựa vào bảng xét dấu:

*  Tại $x=0$: $f'(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ (từ đồng biến sang nghịch biến). Vậy $x=0$ là một điểm cực đại.

*  Tại $x=1$: $f'(x)$ không đổi dấu (vẫn là $-$). Vậy $x=1$ không phải là điểm cực trị.

*  Tại $x=2$: $f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ (từ nghịch biến sang đồng biến). Vậy $x=2$ là một điểm cực tiểu.

Như vậy, hàm số $y=f(x)$ có $2$ điểm cực trị là $x=0$ và $x=2$.

Chọn đáp án B.