Giúp mình với!

Câu 1. Ta cần tìm nguyên hàm của $\frac{1}{x}$. Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ là $\int \frac{dx}{x}$. Ta biết rằng: \[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C \] Trong đó, $C$ là hằng số nguyên hàm. Do đó, khẳng định đúng là: \[ A.~\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 2. Để tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số của hàm số \( f(x) \) liên tục trên \(\mathbb{R}\), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) (với \( a < b \)), ta cần áp dụng công thức tính diện tích dưới đồ thị hàm số. Công thức tính diện tích \( S \) của hình phẳng (H) là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do: - \( |f(x)| \) đảm bảo rằng diện tích luôn dương, kể cả khi \( f(x) \) có giá trị âm. - Giới hạn tích phân từ \( a \) đến \( b \) xác định khoảng trên trục hoành mà ta đang tính diện tích. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Câu 3. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{n} \] Trong đó, \(f_i\) là tần số của nhóm thứ \(i\), \(x_i\) là giá trị đại diện của nhóm thứ \(i\), và \(n\) là tổng số lượng mẫu. Ta có: \[ \begin{aligned} \bar{x} &= \frac{(4 \times 42,5) + (14 \times 47,5) + (8 \times 52,5) + (10 \times 57,5) + (6 \times 62,5) + (2 \times 67,5)}{44} \\ &= \frac{(170) + (665) + (420) + (575) + (375) + (135)}{44} \\ &= \frac{2340}{44} \\ &= 53,1818 \approx 53,18 \end{aligned} \] 2. Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Ta tính từng phần: \[ \begin{aligned} (42,5 - 53,18)^2 &\approx 114,9124 \\ (47,5 - 53,18)^2 &\approx 32,2564 \\ (52,5 - 53,18)^2 &\approx 0,4624 \\ (57,5 - 53,18)^2 &\approx 18,4964 \\ (62,5 - 53,18)^2 &\approx 87,6164 \\ (67,5 - 53,18)^2 &\approx 199,8164 \\ \end{aligned} \] Bây giờ, nhân mỗi giá trị này với tần số tương ứng: \[ \begin{aligned} 4 \times 114,9124 &\approx 459,6496 \\ 14 \times 32,2564 &\approx 451,59 \\ 8 \times 0,4624 &\approx 3,6992 \\ 10 \times 18,4964 &\approx 184,964 \\ 6 \times 87,6164 &\approx 525,6984 \\ 2 \times 199,8164 &\approx 399,6328 \\ \end{aligned} \] Cộng tất cả các giá trị này lại: \[ 459,6496 + 451,59 + 3,6992 + 184,964 + 525,6984 + 399,6328 \approx 2025,234 \] Cuối cùng, chia tổng này cho \(n-1\): \[ s^2 = \frac{2025,234}{43} \approx 47,09846 \approx 47,1 \] Do đó, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 47,1. Vậy đáp án đúng là B. 46,1. Câu 4. Để tính tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u} = (3; 0; 1)$ và $\overrightarrow{v} = (2; 1; 0)$, ta sử dụng công thức sau: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_x \cdot v_x + u_y \cdot v_y + u_z \cdot v_z \] Trong đó: - \(u_x = 3\) - \(u_y = 0\) - \(u_z = 1\) - \(v_x = 2\) - \(v_y = 1\) - \(v_z = 0\) Thay các giá trị này vào công thức, ta có: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 3 \cdot 2 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \] Tính toán từng phần: \[ 3 \cdot 2 = 6 \] \[ 0 \cdot 1 = 0 \] \[ 1 \cdot 0 = 0 \] Cộng lại ta được: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 + 0 + 0 = 6 \] Vậy tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là: \[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6 \] Đáp án đúng là: $B.~\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 6$. Câu 5. Để xác định tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, ta cần tìm các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số của hàm số bằng 0 (nếu hàm số có dạng phân thức). Trong bài này, ta thấy rằng đồ thị hàm số có một đường thẳng đứng mà đồ thị không cắt qua, đó là đường thẳng \( x = -1 \). Điều này cho thấy \( x = -1 \) là tiệm cận đứng của hàm số. Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x = -1. \] Lập luận từng bước: 1. Xác định các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số của hàm số bằng 0. 2. Quan sát đồ thị để xác định đường thẳng đứng mà đồ thị không cắt qua. 3. Kết luận rằng đường thẳng đó là tiệm cận đứng của hàm số. Đáp án: \( C.~x = -1. \) Câu 6. Để giải bất phương trình $\log_2(x+1) < 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_2(x+1)$, ta cần đảm bảo rằng $x + 1 > 0$. Do đó: \[ x > -1 \] 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_2(x+1) < 3$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: \[ \log_2(x+1) < \log_2(8) \] - Vì hàm lôgarit cơ số 2 là hàm đồng biến, nên ta có: \[ x + 1 < 8 \] - Giải bất phương trình này: \[ x < 7 \] 3. Xác định tập hợp nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > -1$ và kết quả từ bước 2 ($x < 7$), ta có: \[ -1 < x < 7 \] - Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là: \[ S = (-1, 7) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S = (-1, 7) \] Câu 7. Để tìm một véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) có phương trình $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-5}{-1}$, ta cần xác định các hệ số trong phương trình này. Phương trình của đường thẳng (d) được viết dưới dạng: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-5}{-1} \] Từ phương trình này, ta thấy rằng các hệ số tương ứng với các biến \(x\), \(y\), và \(z\) là 2, 1, và -1. Do đó, véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) sẽ có các thành phần là 2, 1, và -1. Ta kiểm tra các lựa chọn đã cho: - \( A.~\overrightarrow{n_1} = (2; 1; -1) \) - \( B.~\overrightarrow{n_2} = (1; 3; 5) \) - \( C.~\overrightarrow{n_3} = (2; -1; 1) \) - \( D.~\overrightarrow{n_4} = (-1; -3; -5) \) Trong các lựa chọn trên, chỉ có \( \overrightarrow{n_1} = (2; 1; -1) \) là đúng với các hệ số từ phương trình của đường thẳng (d). Vậy, véc tơ chỉ phương của đường thẳng (d) là: \[ \boxed{\overrightarrow{n_1} = (2; 1; -1)} \] Câu 8. Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích đáy ABCD: Vì ABCD là hình vuông có cạnh là 3a, nên diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = (3a)^2 = 9a^2 \] 2. Xác định chiều cao SA: Theo đề bài, SA là đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD và \(SA = a\sqrt{2}\). 3. Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp: Thể tích \(V\) của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 9a^2 \times a\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 9a^3\sqrt{2} = 3a^3\sqrt{2} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là \(3a^3\sqrt{2}\). Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~3a^3\sqrt{2} \] Câu 9. Để giải phương trình $2^{2x-1} = 32$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $32$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: \[ 32 = 2^5 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{2x-1} = 2^5 \] 2. So sánh các mũ trong phương trình: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, ta có thể so sánh các mũ tương ứng: \[ 2x - 1 = 5 \] 3. Giải phương trình bậc nhất: Giải phương trình $2x - 1 = 5$: \[ 2x = 5 + 1 \] \[ 2x = 6 \] \[ x = \frac{6}{2} \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình $2^{2x-1} = 32$ là $x = 3$. Đáp án đúng là: $D.~x=3$.