Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho đường tròn (O), đường kính BC (điểm O là tâm của đường tròn). Điểm,A thay đổi thuộc đường tròn (O) sao cho $AB\leq AC$ và A khác B. Điểm H là hình chiếu vuông,góc của A trên đường thẳng BC. Điểm D là điểm đối xứng với H qua C, điểm E là điểm đối,xứng với H qua A. Tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt các đường,thẳng EB, ED lần lượt tại M và N.,a) Chứng minh A là trực tâm tam giác BED.,b) Chứng minh M thuộc đường tròn (O).,c) Khi điểm A thay đổi và thỏa mãn các giả thiết của bài toán, tìm vị trí điểm A để,AM.AN lớn nhất.

Question

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^\circ$ nên A là trực tâm tam giác BED.
b) Ta có $\widehat{EAD}=\widehat{EAC}+\widehat{CAD}=\widehat{HAC}+\widehat{CAD}=90^\circ$ nên $\widehat{AND}=90^\circ$. 
Mà $\widehat{ANB}=90^\circ$ nên M thuộc đường tròn (O).
c) Ta có $\widehat{MAN}=\widehat{DAN}=\widehat{DAB}$ nên $\frac{AM}{AN}=\frac{sin\widehat{DAN}}{sin\widehat{MAN}}=\frac{sin\widehat{DAB}}{sin\widehat{DAB}}=1$. 
Do đó $AM.AN=AM^2$. 
Ta có $AM^2=OA^2-OM^2=R^2-OM^2$. 
Vậy $AM.AN$ lớn nhất khi $OM$ nhỏ nhất. 
Điều này xảy ra khi OM vuông góc với AN. 
Khi đó ta có $\widehat{OMN}=\widehat{ANM}=90^\circ$ nên OM song song với AD. 
Vậy $OM\perp BC$. 
Khi đó ta có $\widehat{OAM}=\widehat{OAD}=\widehat{DAO}=\widehat{OAM}$ nên $\widehat{OAM}=\widehat{DAO}=45^\circ$. 
Vậy $AM.AN$ lớn nhất khi $\widehat{BAO}=45^\circ$.