Giải giúp mình với ạ

Câu 1 Để xác định tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) dựa vào đạo hàm \( f'(x) = (x - 2)(x + 1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = (x - 2)(x + 1) = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x - 2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = 0 \] Do đó: \[ x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 2. Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng giữa các điểm \( x = -1 \) và \( x = 2 \): - Trên khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2 - 2)(-2 + 1) = (-4)(-1) = 4 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (-\infty, -1) \). - Trên khoảng \( (-1, 2) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (0 - 2)(0 + 1) = (-2)(1) = -2 < 0 \] Vậy \( f'(x) < 0 \) trên \( (-1, 2) \). - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3 - 2)(3 + 1) = (1)(4) = 4 > 0 \] Vậy \( f'(x) > 0 \) trên \( (2, +\infty) \). 3. Kết luận về tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (2, +\infty) \). - Hàm số \( y = f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 2) \). Do đó, các phát biểu đúng là: - A. Hàm số đã cho đồng biến trên \( (-1, +\infty) \) (sai vì chỉ đồng biến trên \( (2, +\infty) \)). - B. Hàm số đã cho đồng biến trên \( (-\infty, 2) \) (sai vì chỉ đồng biến trên \( (-\infty, -1) \)). - C. Hàm số đã cho nghịch biến trên \( (-1, 2) \) (đúng). - D. Hàm số đã cho nghịch biến trên \( (-1, 2) \) (đúng). Vậy đáp án đúng là: C. Hàm số đã cho nghịch biến trên \( (-1, 2) \). Câu 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$, ta cần quan sát đồ thị của hàm số trên đoạn này. 1. Quan sát đồ thị: - Trên đoạn $[-2; 2]$, ta thấy rằng giá trị của hàm số $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm $x = -1$. 2. Lập luận: - Tại điểm $x = -1$, giá trị của hàm số $f(x)$ là nhỏ nhất so với các giá trị khác trên đoạn $[-2; 2]$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $[-2; 2]$ là $f(-1)$. Đáp án: $A.~f(-1).$ Vậy đáp án đúng là $A.~f(-1).$ Câu 3. Để giải bất phương trình $\log_3(x^2 + 2) \leq 3$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_3(x^2 + 2)$, ta cần đảm bảo rằng $x^2 + 2 > 0$. Điều này luôn đúng vì $x^2 \geq 0$ và $2 > 0$, do đó $x^2 + 2 > 0$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_3(x^2 + 2) \leq 3$. - Đổi về dạng mũ: $x^2 + 2 \leq 3^3$. - Tính $3^3 = 27$, nên ta có $x^2 + 2 \leq 27$. - Chuyển vế: $x^2 \leq 25$. - Giải bất phương trình bậc hai: $-5 \leq x \leq 5$. 3. Kết luận tập nghiệm: - Tập nghiệm của bất phương trình là $[-5, 5]$. Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~S = [-5, 5] \] Đáp số: $S = [-5, 5]$. Câu 4. Để tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x + 1}$, ta thực hiện phép chia đa thức như sau: 1. Chia tử số $2x^2 - 3x + 1$ cho mẫu số $x + 1$: \[ \begin{array}{r|rr} & 2x - 5 \\ \hline x + 1 & 2x^2 - 3x + 1 \\ & -(2x^2 + 2x) \\ \hline & -5x + 1 \\ & -(-5x - 5) \\ \hline & 6 \\ \end{array} \] 2. Kết quả của phép chia là: \[ f(x) = 2x - 5 + \frac{6}{x + 1} \] 3. Khi $x$ tiến đến vô cùng ($x \to \pm \infty$), phần $\frac{6}{x + 1}$ sẽ tiến đến 0. Do đó, đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \[ y = 2x - 5 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~y = 2x - 5 \] Câu 5. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho và so sánh với các đặc điểm của đồ thị. 1. Kiểm tra các đường tiệm cận: - Đường tiệm cận đứng: Đây là giá trị của \( x \) làm mẫu số bằng 0. - Đường tiệm cận ngang: Đây là giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng. 2. Kiểm tra các giao điểm với trục tọa độ: - Giao điểm với trục \( y \): Đặt \( x = 0 \) vào hàm số. - Giao điểm với trục \( x \): Đặt \( y = 0 \) vào hàm số. Hàm số A: \( y = \frac{x + 2}{x - 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \)) - Giao điểm với trục \( y \): \( y = \frac{0 + 2}{0 - 1} = -2 \) - Giao điểm với trục \( x \): \( 0 = \frac{x + 2}{x - 1} \Rightarrow x = -2 \) Hàm số B: \( y = \frac{x - 2}{x - 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = 1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \)) - Giao điểm với trục \( y \): \( y = \frac{0 - 2}{0 - 1} = 2 \) - Giao điểm với trục \( x \): \( 0 = \frac{x - 2}{x - 1} \Rightarrow x = 2 \) Hàm số C: \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \)) - Giao điểm với trục \( y \): \( y = \frac{0 - 2}{0 + 1} = -2 \) - Giao điểm với trục \( x \): \( 0 = \frac{x - 2}{x + 1} \Rightarrow x = 2 \) Hàm số D: \( y = \frac{x + 2}{x + 1} \) - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 1 \) (vì khi \( x \to \infty \), \( y \to 1 \)) - Giao điểm với trục \( y \): \( y = \frac{0 + 2}{0 + 1} = 2 \) - Giao điểm với trục \( x \): \( 0 = \frac{x + 2}{x + 1} \Rightarrow x = -2 \) So sánh các đặc điểm trên với đồ thị trong hình vẽ, ta thấy rằng đồ thị có đường tiệm cận đứng ở \( x = -1 \) và đường tiệm cận ngang ở \( y = 1 \). Giao điểm với trục \( y \) là \( y = 2 \) và giao điểm với trục \( x \) là \( x = -2 \). Do đó, đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = \frac{x + 2}{x + 1} \). Đáp án: D. \( y = \frac{x + 2}{x + 1} \) Câu 6. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(1;0;1) \) và vuông góc với đường thẳng \( d \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): - Đường thẳng \( d \) có phương hướng được xác định bởi vectơ \( \vec{u} = (2, 1, -3) \). - Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng \( d \), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ là \( \vec{n} = (2, 1, -3) \). 2. Viết phương trình mặt phẳng (P): - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. - Thay \( \vec{n} = (2, 1, -3) \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 2x + y - 3z + d = 0 \] 3. Xác định hằng số \( d \): - Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( A(1;0;1) \). Thay tọa độ của điểm \( A \) vào phương trình mặt phẳng để tìm \( d \): \[ 2(1) + 0 - 3(1) + d = 0 \] \[ 2 - 3 + d = 0 \] \[ -1 + d = 0 \] \[ d = 1 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng (P): - Thay \( d = 1 \) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 2x + y - 3z + 1 = 0 \] Vậy phương trình của mặt phẳng (P) là: \[ \boxed{2x + y - 3z + 1 = 0} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~2x + y - 3z + 1 = 0} \] Câu 7. Để tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượng các cuộc gọi: Tổng số cuộc gọi = 9 + 9 + 5 + 7 + 2 + 1 = 33 cuộc gọi. 2. Xác định vị trí của Q1 và Q3: - Vị trí của Q1 (tứ phân vị thứ nhất) = $\frac{1}{4} \times 33 = 8,25$. Do đó, Q1 nằm trong khoảng thứ hai ([60; 120)). - Vị trí của Q3 (tứ phân vị thứ ba) = $\frac{3}{4} \times 33 = 24,75$. Do đó, Q3 nằm trong khoảng thứ năm ([240; 300)). 3. Tính giá trị của Q1 và Q3: - Q1 nằm trong khoảng [60; 120). Ta tính: \[ Q1 = 60 + \left( \frac{8,25 - 9}{9} \right) \times 60 = 60 + \left( \frac{-0,75}{9} \right) \times 60 = 60 - 5 = 55 \] - Q3 nằm trong khoảng [240; 300). Ta tính: \[ Q3 = 240 + \left( \frac{24,75 - 21}{2} \right) \times 60 = 240 + \left( \frac{3,75}{2} \right) \times 60 = 240 + 112,5 = 352,5 \] 4. Tính khoảng tứ phân vị: Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 = 352,5 - 55 = 297,5 Do đó, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 297,5. Đáp án: D. 297,5 Câu 8. Ta có: \[ \int^2_{-1}4f(x)dx = 4 \int^2_{-1}f(x)dx \] Biết rằng: \[ \int^2_{-1}f(x)dx = 5 \] Do đó: \[ 4 \int^2_{-1}f(x)dx = 4 \times 5 = 20 \] Vậy đáp án đúng là: A. 20 Đáp số: A. 20 Câu 9. Để tính thể tích của khối chóp, ta sử dụng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times B \times h \] Trong đó: - \( B \) là diện tích đáy của khối chóp. - \( h \) là chiều cao của khối chóp. Theo đề bài, diện tích đáy \( B = 6 \) và chiều cao \( h = 3 \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 6 \times 3 \] Tính toán: \[ V = \frac{1}{3} \times 18 = 6 \] Vậy thể tích của khối chóp là 6. Đáp án đúng là: A. 6. Câu 10. Số hạng thứ hai của cấp số nhân $(u_n)$ được tính bằng cách nhân số hạng đầu tiên với công bội. Ta có: \[ u_1 = 7 \] \[ q = 3 \] Số hạng thứ hai là: \[ u_2 = u_1 \times q = 7 \times 3 = 21 \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~u_2 = 21 \] Câu 11. Trước tiên, ta xét từng mặt phẳng và mối liên hệ giữa chúng trong hình chóp S.ABC. 1. Xét mặt phẳng (SAB): - Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \perp AB \) và \( SA \perp BC \). - Mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng \( SA \) và \( AB \). 2. Xét mặt phẳng (ABC): - Tam giác ABC vuông tại B, tức là \( AB \perp BC \). - Mặt phẳng (ABC) chứa các đường thẳng \( AB \), \( BC \), và \( AC \). 3. Xét mặt phẳng (SBC): - Mặt phẳng (SBC) chứa các đường thẳng \( SB \), \( BC \), và \( SC \). 4. Xét mặt phẳng (SAC): - Mặt phẳng (SAC) chứa các đường thẳng \( SA \), \( AC \), và \( SC \). Bây giờ, ta kiểm tra từng kết luận: - Kết luận A: \( (SAB) \perp (ABC) \) - Vì \( SA \perp (ABC) \), nên mặt phẳng (SAB) chứa đường thẳng \( SA \) sẽ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kết luận này đúng. - Kết luận B: \( (SAC) \perp (SBC) \) - Để chứng minh \( (SAC) \perp (SBC) \), ta cần tìm một đường thẳng nằm trong (SAC) và vuông góc với (SBC). Tuy nhiên, không có đường thẳng nào trong (SAC) vuông góc với (SBC) vì \( SA \perp (ABC) \) nhưng không có đường thẳng nào trong (SBC) vuông góc với \( SA \). Kết luận này sai. - Kết luận C: \( (SAC) \perp (ABC) \) - Vì \( SA \perp (ABC) \), nên mặt phẳng (SAC) chứa đường thẳng \( SA \) sẽ vuông góc với mặt phẳng (ABC). Kết luận này đúng. - Kết luận D: \( (SAB) \perp (SBC) \) - Vì \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \perp BC \). Mặt phẳng (SAB) chứa \( SA \) và \( AB \), trong đó \( AB \perp BC \). Do đó, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Kết luận này đúng. Vậy kết luận sai là: \[ \boxed{B} \] Câu 12. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x + 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số: - Nguyên hàm của \( e^x \) là \( e^x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). 2. Gộp lại để tìm nguyên hàm tổng: \[ \int f(x) \, dx = \int (e^x + 2) \, dx = \int e^x \, dx + \int 2 \, dx = e^x + 2x + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = e^x + 2x + C. \]