Bài 9. Cho ∆ABC cân tại A và trung tuyến AD. Lấy hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạnh AB và AC sao cho Trên tia đối của tia DN lấy điểm I sao cho . Chứng minh rằng a) ∠BAD = ∠CAD b) c) d*) G...

Bài 9. a) Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB = AC và ∠BAC = ∠CAB. Do đó, trung tuyến AD cũng là đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC, tức là AD vuông góc với BC. Điều này dẫn đến ∠BAD = ∠CAD. b) Ta có ∠BAM = ∠CAN vì ∠BAC chia đều cho hai phần bằng nhau. Mặt khác, AM = AN theo đề bài. Do đó, ∆ABM và ∆ACN là hai tam giác bằng nhau (cùng một góc và hai cạnh kề góc đó bằng nhau). Từ đây suy ra BM = CN. c) Ta thấy ∠BAM = ∠CAN và AM = AN. Do đó, ∆ABM và ∆ACN là hai tam giác bằng nhau (cùng một góc và hai cạnh kề góc đó bằng nhau). Từ đây suy ra ∠AMB = ∠ANC. d) Để chứng minh M, G, D thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng đường thẳng qua M và G cũng đi qua D. Ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác và đường thẳng đã biết. - Đầu tiên, ta thấy ∠BAM = ∠CAN và AM = AN, do đó ∆ABM và ∆ACN là hai tam giác bằng nhau. Điều này dẫn đến ∠AMB = ∠ANC. - Tiếp theo, ta thấy ∠BMD = ∠CMD vì ∠BMD và ∠CMD là hai góc đối đỉnh. Do đó, ∆BMD và ∆CMD là hai tam giác bằng nhau (cùng một góc và hai cạnh kề góc đó bằng nhau). - Từ đây suy ra MD là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Điều này dẫn đến M, G, D thẳng hàng vì G nằm trên đường thẳng qua M và D. Vậy ta đã chứng minh được M, G, D thẳng hàng. Bài 10. a) Ta có: $$ (vì $$ là tia phân giác của $$) $$ (góc nội tiếp chắn cùng cung $$) Do đó: $$ Suy ra: $$ là tam giác cân tại $$ b) Ta có: $$ (chứng minh trên) $$ (góc nội tiếp chắn cùng cung $$) Do đó: $$ Suy ra: $$ là tia phân giác của $$ c) Ta có: $$ (chứng minh trên) $$ (chứng minh trên) Do đó: $$ Suy ra: $$ là tam giác cân tại $$ Và $$