Làm cho tớ

Câu 10: Để tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox, ta áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) \) là hàm số biểu diễn đường cong giới hạn hình phẳng H. - \( a \) và \( b \) là cận trên và cận dưới của đoạn quay, tương ứng với khoảng trên trục Ox mà hình phẳng H nằm trong đó. Theo đồ thị, hình phẳng H nằm giữa hai điểm có hoành độ \( x = 0 \) và \( x = 2 \). Do đó, cận trên là \( b = 2 \) và cận dưới là \( a = 0 \). Áp dụng vào công thức, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{2} [f(x)]^2 \, dx \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~V=\pi\int^2_0[f(x)]^2dx. \] Câu 11: Để tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. 3. Tính độ lệch chuẩn từ phương sai. Bước 1: Tính trung bình cộng Trung bình cộng \( \bar{x} \) được tính theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i m_i}{n} \] trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ \( i \), - \( m_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ \( i \), - \( n \) là tổng số quan sát. Bảng tần số và giá trị trung tâm của các nhóm: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & \text{Tần số} (f_i) & \text{Giá trị trung tâm} (m_i) \\ \hline [160; 164) & 3 & 162 \\ [164; 168) & 8 & 166 \\ [168; 172) & 18 & 170 \\ [172; 176) & 12 & 174 \\ [176; 180) & g & 178 \\ \hline \end{array} \] Tổng số quan sát \( n = 50 \). Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{3 \times 162 + 8 \times 166 + 18 \times 170 + 12 \times 174 + g \times 178}{50} \] Biết rằng \( n = 50 \), suy ra \( 3 + 8 + 18 + 12 + g = 50 \). Do đó, \( g = 9 \). Thay vào: \[ \bar{x} = \frac{3 \times 162 + 8 \times 166 + 18 \times 170 + 12 \times 174 + 9 \times 178}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{486 + 1328 + 3060 + 2088 + 1602}{50} \] \[ \bar{x} = \frac{8564}{50} \] \[ \bar{x} = 171.28 \] Bước 2: Tính phương sai Phương sai \( s^2 \) được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (m_i - \bar{x})^2}{n-1} \] Tính \( (m_i - \bar{x})^2 \): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Nhóm} & \text{Tần số} (f_i) & \text{Giá trị trung tâm} (m_i) & (m_i - \bar{x})^2 \\ \hline [160; 164) & 3 & 162 & (162 - 171.28)^2 = 90.0624 \\ [164; 168) & 8 & 166 & (166 - 171.28)^2 = 27.8784 \\ [168; 172) & 18 & 170 & (170 - 171.28)^2 = 1.6384 \\ [172; 176) & 12 & 174 & (174 - 171.28)^2 = 7.0784 \\ [176; 180) & 9 & 178 & (178 - 171.28)^2 = 45.1584 \\ \hline \end{array} \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{3 \times 90.0624 + 8 \times 27.8784 + 18 \times 1.6384 + 12 \times 7.0784 + 9 \times 45.1584}{49} \] \[ s^2 = \frac{270.1872 + 223.0272 + 29.4912 + 84.9408 + 406.4256}{49} \] \[ s^2 = \frac{1013.072}{49} \] \[ s^2 \approx 20.675 \] Bước 3: Tính độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn \( s \) được tính bằng cách lấy căn bậc hai của phương sai: \[ s = \sqrt{s^2} \] \[ s = \sqrt{20.675} \] \[ s \approx 4.55 \] Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: \[ s \approx 4.6 \] Do đó, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là khoảng 4.6 cm. Tuy nhiên, trong các lựa chọn đã cho, đáp án gần đúng nhất là 4.5 cm. Đáp án: A. 4.5. Câu 12: Để giải bất phương trình $\log_{0,5}x > 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $\log_{0,5}x > 3$, ta cần đảm bảo rằng $x > 0$ vì căn lô-ga-rít chỉ xác định khi đối số dương. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $\log_{0,5}x > 3$. - Điều này tương đương với $x < (0,5)^3$ vì cơ số của lô-ga-rít là $0,5$ (nhỏ hơn 1), do đó khi lô-ga-rít lớn hơn một số dương thì đối số sẽ nhỏ hơn cơ số lũy thừa với số đó. - Tính $(0,5)^3 = 0,125$. 3. Tìm tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $x > 0$ và kết quả từ bước trên $x < 0,125$, ta có tập nghiệm là $(0; 0,125)$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log_{0,5}x > 3$ là: \[ C.~(0; 0,125). \] Câu 1: a) Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=(2;1;2).$ Phương trình mặt phẳng (P) là $2x + y + 2z - 3 = 0$. Từ phương trình này, ta thấy rằng vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (2; 1; 2)$. Do đó, khẳng định này đúng. b) Điểm $M(0;1;1)$ thuộc mặt phẳng (P). Thay tọa độ của điểm $M(0;1;1)$ vào phương trình mặt phẳng (P): \[2(0) + 1 + 2(1) - 3 = 0 + 1 + 2 - 3 = 0.\] Phương trình đúng, do đó điểm $M(0;1;1)$ thuộc mặt phẳng (P). Khẳng định này đúng. c) Khoảng cách từ điểm $N(3;0;0)$ đến mặt phẳng (P) bằng 2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm $(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $ax + by + cz + d = 0$ là: \[d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.\] Áp dụng công thức này với điểm $N(3;0;0)$ và mặt phẳng (P) $2x + y + 2z - 3 = 0$: \[d = \frac{|2(3) + 1(0) + 2(0) - 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}} = \frac{|6 + 0 + 0 - 3|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|3|}{\sqrt{9}} = \frac{3}{3} = 1.\] Khoảng cách từ điểm $N(3;0;0)$ đến mặt phẳng (P) là 1, không phải 2. Do đó, khẳng định này sai. d) Mặt phẳng $(Q):~x - 4y + z - 1 = 0$ vuông góc với mặt phẳng (P). Hai mặt phẳng vuông góc nhau nếu tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n_P} = (2; 1; 2)$ và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow{n_Q} = (1; -4; 1)$. Tích vô hướng của $\overrightarrow{n_P}$ và $\overrightarrow{n_Q}$ là: \[\overrightarrow{n_P} \cdot \overrightarrow{n_Q} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-4) + 2 \cdot 1 = 2 - 4 + 2 = 0.\] Vì tích vô hướng bằng 0, nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Do đó, khẳng định này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu2 a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}.$ b) Đạo hàm của hàm số là $y^\prime=-3x^2+6x.$ c) Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số, ta giải phương trình $y^\prime=0$: \[ -3x^2 + 6x = 0 \] \[ -3x(x - 2) = 0 \] Vậy $x = 0$ hoặc $x = 2$. Ta xét dấu của $y^\prime$ trên các khoảng $( -\infty, 0 )$, $( 0, 2 )$, và $( 2, +\infty )$: - Trên khoảng $( -\infty, 0 )$: Chọn $x = -1$, ta có $y^\prime = -3(-1)^2 + 6(-1) = -3 - 6 = -9 < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng $( 0, 2 )$: Chọn $x = 1$, ta có $y^\prime = -3(1)^2 + 6(1) = -3 + 6 = 3 > 0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng $( 2, +\infty )$: Chọn $x = 3$, ta có $y^\prime = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9 < 0$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng này. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $(0, 2)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, 0)$ và $(2, +\infty)$. d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y = f(x)$ là điểm $I(a, f(a))$, trong đó $a$ là nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$. Ta đã tìm được hai nghiệm $x = 0$ và $x = 2$. Ta tính giá trị của hàm số tại điểm trung điểm của hai nghiệm này: \[ a = \frac{0 + 2}{2} = 1 \] \[ f(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số là $I(1, 4)$. Câu 3: a) Đạo hàm của hàm số $y = x^3 + 3x + 1$ là: \[ y' = 3x^2 + 3 \] b) Để tìm giao điểm của đồ thị (C) với trục tung, ta thay \( x = 0 \) vào phương trình hàm số: \[ y = 0^3 + 3 \cdot 0 + 1 = 1 \] Vậy giao điểm M của (C) với trục tung là \( M(0;1) \). c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung là giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung là 3. d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \( M(0;1) \) có dạng: \[ y - 1 = 3(x - 0) \] \[ y = 3x + 1 \] Tiếp tuyến này cắt trục Ox tại điểm A và trục Oy tại điểm B. Ta tìm tọa độ của các điểm này: - Điểm A là giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox, tức là \( y = 0 \): \[ 0 = 3x + 1 \] \[ x = -\frac{1}{3} \] Vậy tọa độ của điểm A là \( A\left(-\frac{1}{3}, 0\right) \). - Điểm B là giao điểm của tiếp tuyến với trục Oy, tức là \( x = 0 \): \[ y = 3 \cdot 0 + 1 = 1 \] Vậy tọa độ của điểm B là \( B(0, 1) \). Diện tích của tam giác OAB là: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \left| -\frac{1}{3} \right| \times 1 = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \] Vậy diện tích của tam giác OAB là \( \frac{1}{6} \). Đáp số: a) \( y' = 3x^2 + 3 \) b) \( M(0;1) \) c) Hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục tung là 3. d) Diện tích của tam giác OAB là \( \frac{1}{6} \). Câu 4: a) Xác suất chọn được người bị bệnh tiểu đường là 0,4. b) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó bị bệnh tiểu đường là 0,7. c) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao, biết người đó không bị bệnh tiểu đường là 0,25. d) Xác suất chọn được người bị bệnh huyết áp cao là: \[ P(\text{Huyết áp cao}) = P(\text{Tiểu đường}) \times P(\text{Huyết áp cao} | \text{Tiểu đường}) + P(\text{Không tiểu đường}) \times P(\text{Huyết áp cao} | \text{Không tiểu đường}) \] \[ P(\text{Huyết áp cao}) = 0,4 \times 0,7 + 0,6 \times 0,25 \] \[ P(\text{Huyết áp cao}) = 0,28 + 0,15 \] \[ P(\text{Huyết áp cao}) = 0,43 \] Đáp số: 0,43