tìm các số nguyên tố p,q sao cho $p^2-4q$ là số chính phương

Gọi số chính phương cần tìm là $k^2$ Ta có: $p^2-4q=k^2$ $p^2-k^2=4q$ $(p+k)(p-k)=4q$ Vì $p$ là số nguyên tố nên $p>1$. Do đó $p+k>p-k>0$ Mặt khác $4q$ là số chẵn nên $p+k$ và $p-k$ đều là số chẵn. Xét các TH: TH1: $p+k=2$ và $p-k=2q$ Suy ra $p=1+q$ (loại vì trái với giả thiết) TH2: $p+k=4$ và $p-k=q$ Suy ra $p=\frac{4+q}{2}$ Vì $p$ là số nguyên nên $4+q$ phải chia hết cho 2. Suy ra $q=2$ hoặc $q=4$ - Với $q=2$ thì $p=3$ - Với $q=4$ thì $p=4$ (loại vì 4 không là số nguyên tố) TH3: $p+k=2q$ và $p-k=2$ Suy ra $p=q+1$ (loại vì trái với giả thiết) Vậy $p=3$ và $q=2$