cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AB=AA'=a, AC'=2a. tính khoảng cách từ. a) d(D, (ACD')) b) d(BB', AC')

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về hình học và tính chất của hình hộp chữ nhật. a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') 1. Xác định hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D': - AB = AA' = a - AC' = 2a 2. Tính diện tích tam giác ACD': - Tam giác ACD' là tam giác vuông tại C (vì AC' là đường chéo của hình hộp chữ nhật). - Diện tích tam giác ACD' là: \[ S_{ACD'} = \frac{1}{2} \times AD' \times CD' \] - Ta biết rằng: \[ AD' = \sqrt{AB^2 + AA'^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \] \[ CD' = \sqrt{AD'^2 + AA'^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3} \] - Do đó: \[ S_{ACD'} = \frac{1}{2} \times a\sqrt{2} \times a\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times a^2 \times \sqrt{6} = \frac{a^2 \sqrt{6}}{2} \] 3. Tính thể tích khối chóp D-ACD': - Thể tích khối chóp D-ACD' là: \[ V_{D-ACD'} = \frac{1}{3} \times S_{ACD'} \times DD' = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{6}}{2} \times a = \frac{a^3 \sqrt{6}}{6} \] 4. Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD'): - Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') là: \[ d(D, (ACD')) = \frac{3 \times V_{D-ACD'}}{S_{ACD'}} = \frac{3 \times \frac{a^3 \sqrt{6}}{6}}{\frac{a^2 \sqrt{6}}{2}} = \frac{a^3 \sqrt{6}}{2a^2 \sqrt{6}} = \frac{a}{2} \] b) Tính khoảng cách từ BB' đến AC' 1. Xác định khoảng cách từ BB' đến AC': - Khoảng cách từ BB' đến AC' là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song BB' và AC'. - Vì BB' và AC' là hai đường thẳng song song và nằm trong mặt phẳng ABCD, nên khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC'. 2. Tính khoảng cách từ B đến AC': - Ta biết rằng AC' là đường chéo của hình hộp chữ nhật, do đó AC' = 2a. - Khoảng cách từ B đến AC' là khoảng cách từ B đến đường thẳng AC', tức là chiều cao hạ từ B xuống AC'. - Ta có: \[ d(B, AC') = \frac{2 \times S_{ABC'}}{AC'} \] - Diện tích tam giác ABC' là: \[ S_{ABC'} = \frac{1}{2} \times AB \times BC' = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2} \] - Do đó: \[ d(B, AC') = \frac{2 \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{2}}{2a} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{2a} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] Đáp số: a) Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ACD') là $\frac{a}{2}$. b) Khoảng cách từ BB' đến AC' là $\frac{a \sqrt{3}}{2}$.