giup voi a

Câu 1: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $y = f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số giảm. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-1) = -2$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số tăng. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(1) = 2$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số giảm. Từ đó, giá trị cực tiểu của hàm số là $-2$, đạt được khi $x = -1$. Vậy đáp án đúng là: A. -2. Câu 2: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = e^{x-2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(e^{x-2}) = e^{x-2} \] 2. Xác định dấu của đạo hàm: - Ta thấy rằng \( e^{x-2} > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). 3. Xét tính chất của đạo hàm: - Vì đạo hàm \( y' = e^{x-2} \) luôn dương với mọi \( x \), hàm số \( y = e^{x-2} \) là hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định của nó. Do đó, hàm số \( y = e^{x-2} \) không có khoảng nghịch biến nào. Như vậy, trong các đáp án đã cho, không có khoảng nghịch biến nào đúng. Tuy nhiên, nếu phải chọn một trong các đáp án, ta sẽ chọn đáp án không có khoảng nghịch biến. Đáp án: Không có khoảng nghịch biến. Câu 3: Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 3 + \frac{9}{x + 2}$ trên đoạn $[-1; 3]$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y' = 1 - \frac{9}{(x + 2)^2} \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ y' = 0 \] \[ 1 - \frac{9}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ \frac{9}{(x + 2)^2} = 1 \] \[ (x + 2)^2 = 9 \] \[ x + 2 = 3 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = -3 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \] Trong đó, $x = -5$ không thuộc đoạn $[-1; 3]$, nên ta chỉ xét $x = 1$. Bước 3: Kiểm tra các giá trị tại các điểm biên và điểm cực trị - Tại $x = -1$: \[ y(-1) = -1 - 3 + \frac{9}{-1 + 2} = -1 - 3 + 9 = 5 \] - Tại $x = 1$: \[ y(1) = 1 - 3 + \frac{9}{1 + 2} = 1 - 3 + 3 = 1 \] - Tại $x = 3$: \[ y(3) = 3 - 3 + \frac{9}{3 + 2} = 0 + \frac{9}{5} = \frac{9}{5} \] Bước 4: So sánh các giá trị So sánh các giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: \[ y(-1) = 5 \] \[ y(1) = 1 \] \[ y(3) = \frac{9}{5} \] Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là $1$. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = x - 3 + \frac{9}{x + 2}$ trên đoạn $[-1; 3]$ là $1$, đạt được khi $x = 1$. Đáp án đúng là: B. 1. Câu 4: Để hàm số $y = \frac{2x + 1}{x - m}$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; -4)$, ta cần kiểm tra điều kiện của m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng này. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x + 1}{x - m} \right)' = \frac{(2x + 1)'(x - m) - (2x + 1)(x - m)'}{(x - m)^2} = \frac{2(x - m) - (2x + 1)}{(x - m)^2} = \frac{-2m - 1}{(x - m)^2} \] Bước 2: Để hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -4)$, đạo hàm $y'$ phải lớn hơn hoặc bằng 0 trên khoảng này: \[ y' > 0 \Rightarrow \frac{-2m - 1}{(x - m)^2} > 0 \] Do $(x - m)^2$ luôn dương với mọi x khác m, nên ta chỉ cần: \[ -2m - 1 > 0 \] \[ -2m > 1 \] \[ m < -\frac{1}{2} \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện để hàm số xác định trên khoảng $(-\infty; -4)$: Hàm số xác định khi mẫu số khác 0, tức là $x \neq m$. Vì vậy, m phải nằm ngoài khoảng $(-\infty; -4)$, nghĩa là $m \geq -4$. Bước 4: Kết hợp hai điều kiện: \[ -4 \leq m < -\frac{1}{2} \] Bước 5: Tìm các giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện trên: Các giá trị nguyên của m trong khoảng $[-4; -\frac{1}{2})$ là: $-4, -3, -2, -1$ Vậy có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn điều kiện. Đáp án: B. 4. Câu 5: Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sin x + 2\cos x$, ta thực hiện như sau: 1. Tìm nguyên hàm của $\sin x$: Nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$. 2. Tìm nguyên hàm của $2\cos x$: Nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$. Do đó, nguyên hàm của $2\cos x$ là $2\sin x$. 3. Kết hợp các kết quả trên: Nguyên hàm của $y = \sin x + 2\cos x$ là $-\cos x + 2\sin x + C$, trong đó $C$ là hằng số nguyên hàm. Vậy đáp án đúng là: \[ B. -\cos x + 2\sin x + C. \] Câu 6: Để tính diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = x^3 - x$, $y = 3x$ và hai đường thẳng $x = 1$, $x = 3$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định khoảng tích phân: - Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường thẳng $x = 1$ và $x = 3$. Do đó, khoảng tích phân là từ $x = 1$ đến $x = 3$. 2. Tìm hiệu giữa hai hàm số: - Ta cần tìm hiệu giữa hai hàm số $y = x^3 - x$ và $y = 3x$ để xác định biểu thức dưới dấu tích phân. - Hiệu giữa hai hàm số là: \[ (x^3 - x) - 3x = x^3 - 4x \] 3. Lập phương trình tích phân: - Diện tích của hình phẳng (H) được tính bằng tích phân của hiệu giữa hai hàm số trên khoảng từ $x = 1$ đến $x = 3$. - Biểu thức tích phân là: \[ S = \int_{1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \text{D.}~S = \int_{1}^{3} (x^3 - 4x) \, dx \] Câu 7: Trước tiên, ta xét các trường hợp có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên 2 viên bi từ hộp thứ nhất: 1. Cả hai viên bi đều xanh. 2. Cả hai viên bi đều đỏ. Tuy nhiên, do hộp thứ nhất chỉ có 1 viên bi đỏ, nên trường hợp cả hai viên bi đều đỏ là không thể xảy ra. Vậy chỉ còn trường hợp cả hai viên bi đều xanh. Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 4 viên bi xanh trong hộp thứ nhất là: \[ \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = 6 \] Bây giờ, ta chuyển 2 viên bi xanh này vào hộp thứ hai. Hộp thứ hai lúc này sẽ có: - 7 viên bi xanh (5 ban đầu + 2 viên từ hộp thứ nhất) - 3 viên bi đỏ Tổng số viên bi trong hộp thứ hai là: \[ 7 + 3 = 10 \] Xác suất lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \[ P(\text{bi đỏ}) = \frac{\text{số viên bi đỏ}}{\text{tổng số viên bi}} = \frac{3}{10} = 0,3 \] Vậy xác suất lấy được viên bi đỏ từ hộp thứ hai là: \[ \boxed{0,3} \] Câu 8: Để lập luận từng bước, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số học sinh trong lớp: - Số học sinh có điểm từ [7; 7,5) là 6 học sinh. - Số học sinh có điểm từ (7,5; 8) là 16 học sinh. - Số học sinh có điểm từ [8; 8,5) là 13 học sinh. - Số học sinh có điểm từ [8,5; 9) là 5 học sinh. Tổng số học sinh trong lớp: \[ 6 + 16 + 13 + 5 = 40 \text{ học sinh} \] 2. Tính tần suất tương đối của mỗi khoảng điểm: - Tần suất tương đối của khoảng [7; 7,5): \[ \frac{6}{40} = 0,15 \] - Tần suất tương đối của khoảng (7,5; 8): \[ \frac{16}{40} = 0,4 \] - Tần suất tương đối của khoảng [8; 8,5): \[ \frac{13}{40} = 0,325 \] - Tần suất tương đối của khoảng [8,5; 9): \[ \frac{5}{40} = 0,125 \] 3. Lập bảng tần suất tương đối: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Điểm} & \text{Tần suất tương đối} \\ \hline [7; 7,5) & 0,15 \\ \hline (7,5; 8) & 0,4 \\ \hline [8; 8,5) & 0,325 \\ \hline [8,5; 9) & 0,125 \\ \hline \end{array} \] 4. Tính trung vị của dãy số: - Số học sinh là 40, do đó trung vị nằm giữa học sinh thứ 20 và 21. - Học sinh thứ 20 và 21 đều thuộc khoảng (7,5; 8). Vậy trung vị của dãy số là: \[ \text{Trung vị} = 8 \] 5. Tính phương sai và độ lệch chuẩn: - Ta tính trung bình cộng của các điểm: \[ \bar{x} = \frac{(7,25 \times 6) + (7,75 \times 16) + (8,25 \times 13) + (8,75 \times 5)}{40} \] \[ \bar{x} = \frac{(43,5) + (124) + (107,25) + (43,75)}{40} = \frac{318,5}{40} = 7,9625 \] - Phương sai: \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 6(7,25 - 7,9625)^2 + 16(7,75 - 7,9625)^2 + 13(8,25 - 7,9625)^2 + 5(8,75 - 7,9625)^2 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 6(-0,7125)^2 + 16(-0,2125)^2 + 13(0,2875)^2 + 5(0,7875)^2 \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 6(0,50765625) + 16(0,04515625) + 13(0,08265625) + 5(0,62015625) \right] \] \[ s^2 = \frac{1}{40} \left[ 3,0459375 + 0,7225 + 1,07453125 + 3,10078125 \right] = \frac{1}{40} \times 7,94375 = 0,19859375 \] - Độ lệch chuẩn: \[ s = \sqrt{0,19859375} \approx 0,4456 \] Kết luận: - Số học sinh trong lớp là 40 học sinh. - Tần suất tương đối của mỗi khoảng điểm đã được tính toán. - Trung vị của dãy số là 8. - Phương sai là 0,19859375 và độ lệch chuẩn là khoảng 0,4456.