giải giúp tớ

Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu, chúng ta cần xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu, sau đó tính hiệu giữa hai giá trị này. Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. - Giá trị nhỏ nhất nằm trong khoảng [6,5; 7), tức là 6,5. - Giá trị lớn nhất nằm trong khoảng [9,5; 10), tức là 10. Bước 2: Tính khoảng biến thiên. Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất = 10 - 6,5 = 3,5 Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 3,5. Đáp án đúng là: A. 3,5. Câu 23. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính tương ứng: A. Kiểm tra $\overrightarrow u + \overrightarrow v = (3;1;2)$: \[ \overrightarrow u + \overrightarrow v = (2;1;-2) + (1;0;4) = (2+1; 1+0; -2+4) = (3;1;2) \] Mệnh đề này đúng. B. Kiểm tra $\overrightarrow u \bot \overrightarrow v$: Hai vectơ vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng 0: \[ \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-2) \cdot 4 = 2 + 0 - 8 = -6 \] Vì -6 không bằng 0, nên mệnh đề này sai. C. Kiểm tra $|\overrightarrow u| = 3$: Tính độ dài của vectơ $\overrightarrow u$: \[ |\overrightarrow u| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \] Mệnh đề này đúng. D. Kiểm tra $\overrightarrow u - \overrightarrow v = (1;1;-6)$: \[ \overrightarrow u - \overrightarrow v = (2;1;-2) - (1;0;4) = (2-1; 1-0; -2-4) = (1;1;-6) \] Mệnh đề này đúng. Như vậy, mệnh đề sai là B. Đáp án: B. Câu 24. Cấp số nhân $(u_n)$ có $u_1 = 1$ và $u_2 = 4$. Ta cần tìm $u_3$. Trước tiên, ta xác định công bội $q$ của cấp số nhân: \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{4}{1} = 4 \] Bây giờ, ta tính $u_3$ bằng cách nhân $u_2$ với công bội $q$: \[ u_3 = u_2 \times q = 4 \times 4 = 16 \] Vậy $u_3$ bằng 16. Đáp án đúng là: C. 16 Câu 25. Để xác định tính chất tăng giảm của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 1}$, ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số. \[ y' = \left( \frac{2x - 1}{x - 1} \right)' \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(2x - 1)'(x - 1) - (2x - 1)(x - 1)'}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2(x - 1) - (2x - 1)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 2 - 2x + 1}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-1}{(x - 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm. \[ y' = \frac{-1}{(x - 1)^2} \] Ta thấy rằng $(x - 1)^2$ luôn dương với mọi $x \neq 1$. Do đó, $\frac{-1}{(x - 1)^2}$ luôn âm với mọi $x \neq 1$. Bước 3: Kết luận tính chất tăng giảm của hàm số. - Vì $y' < 0$ với mọi $x \neq 1$, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty, 1)$ và $(1, +\infty)$. Do đó, phát biểu đúng là: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$. Đáp án: D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 1)$. Câu 26. Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $f(x)$, ta thấy rằng: - Khi $x$ tăng từ $-\infty$ đến $x = -1$, hàm số $f(x)$ giảm dần. - Tại điểm $x = -1$, hàm số đạt giá trị cực tiểu là $f(-1) = -2$. - Khi $x$ tăng từ $x = -1$ đến $x = 1$, hàm số $f(x)$ tăng dần. - Tại điểm $x = 1$, hàm số đạt giá trị cực đại là $f(1) = 3$. - Khi $x$ tăng từ $x = 1$ đến $+\infty$, hàm số $f(x)$ giảm dần. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số $f(x)$ là $-2$, đạt được khi $x = -1$. Vậy đáp án đúng là: B. -2. Câu 27. Để tìm tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.A'B'C' và O.ABC, ta cần tính thể tích của mỗi khối chóp và sau đó tìm tỉ số của chúng. Thể tích của khối chóp O.ABC là: \[ V_{OABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times h \] Trong đó, \( S_{ABC} \) là diện tích đáy ABC và \( h \) là chiều cao từ đỉnh O đến đáy ABC. Thể tích của khối chóp O.A'B'C' là: \[ V_{OA'B'C'} = \frac{1}{3} \times S_{A'B'C'} \times h' \] Trong đó, \( S_{A'B'C'} \) là diện tích đáy A'B'C' và \( h' \) là chiều cao từ đỉnh O đến đáy A'B'C'. Ta biết rằng: \[ 2OA' = OA \Rightarrow OA' = \frac{1}{2}OA \] \[ 4OB' = OB \Rightarrow OB' = \frac{1}{4}OB \] \[ 3OC' = OC \Rightarrow OC' = \frac{1}{3}OC \] Diện tích đáy A'B'C' so với đáy ABC sẽ giảm theo tỷ lệ bình phương của các đoạn thẳng tương ứng: \[ S_{A'B'C'} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 \times \left( \frac{1}{3} \right)^2 \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{9} \times S_{ABC} = \frac{1}{576} \times S_{ABC} \] Chiều cao từ đỉnh O đến đáy A'B'C' cũng giảm theo tỷ lệ của đoạn thẳng tương ứng: \[ h' = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times h = \frac{1}{24} \times h \] Do đó, thể tích của khối chóp O.A'B'C' là: \[ V_{OA'B'C'} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{576} \times S_{ABC} \right) \times \left( \frac{1}{24} \times h \right) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{576} \times \frac{1}{24} \times S_{ABC} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{13824} \times S_{ABC} \times h = \frac{1}{13824} \times V_{OABC} \] Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.A'B'C' và O.ABC là: \[ \frac{V_{OA'B'C'}}{V_{OABC}} = \frac{\frac{1}{13824} \times V_{OABC}}{V_{OABC}} = \frac{1}{13824} \] Nhưng do ta đã tính sai ở phần diện tích đáy và chiều cao, ta cần kiểm tra lại: \[ S_{A'B'C'} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{1}{4} \right) \times \left( \frac{1}{3} \right) \times S_{ABC} = \frac{1}{24} \times S_{ABC} \] \[ h' = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} \times h = \frac{1}{24} \times h \] Do đó, thể tích của khối chóp O.A'B'C' là: \[ V_{OA'B'C'} = \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{24} \times S_{ABC} \right) \times \left( \frac{1}{24} \times h \right) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{24} \times \frac{1}{24} \times S_{ABC} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{1}{576} \times S_{ABC} \times h = \frac{1}{576} \times V_{OABC} \] Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp O.A'B'C' và O.ABC là: \[ \frac{V_{OA'B'C'}}{V_{OABC}} = \frac{\frac{1}{576} \times V_{OABC}}{V_{OABC}} = \frac{1}{576} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{1}{24}} \] Câu 28. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = f(x)$ dựa vào đồ thị của đạo hàm $y = f'(x)$, ta cần tìm các khoảng mà $f'(x) > 0$. Trên đồ thị của $y = f'(x)$, ta thấy: - Từ $-\infty$ đến $-1$, đồ thị nằm dưới trục hoành, tức là $f'(x) < 0$. - Từ $-1$ đến $0$, đồ thị nằm trên trục hoành, tức là $f'(x) > 0$. - Từ $0$ đến $1$, đồ thị nằm dưới trục hoành, tức là $f'(x) < 0$. - Từ $1$ đến $4$, đồ thị nằm trên trục hoành, tức là $f'(x) > 0$. - Từ $4$ đến $+\infty$, đồ thị nằm dưới trục hoành, tức là $f'(x) < 0$. Do đó, hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng: - $(-1; 0)$ - $(1; 4)$ Tuy nhiên, trong các đáp án đã cho, chỉ có khoảng $(1; 4)$ là đúng. Vậy đáp án đúng là: C. $(1; 4)$ Câu 29. Để tìm số điểm cực đại của đồ thị hàm số \( f(x) \), ta cần phân tích đạo hàm \( f'(x) \). Bước 1: Xác định đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = x^2(x^2 - 1) \] Bước 2: Tìm các điểm có đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = x^2(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm 1 \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) trên các khoảng giữa các nghiệm: - Khi \( x < -1 \), chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (-2)^2((-2)^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12 > 0 \] - Khi \( -1 < x < 0 \), chọn \( x = -0.5 \): \[ f'(-0.5) = (-0.5)^2((-0.5)^2 - 1) = 0.25(0.25 - 1) = 0.25(-0.75) = -0.1875 < 0 \] - Khi \( 0 < x < 1 \), chọn \( x = 0.5 \): \[ f'(0.5) = (0.5)^2((0.5)^2 - 1) = 0.25(0.25 - 1) = 0.25(-0.75) = -0.1875 < 0 \] - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (2)^2((2)^2 - 1) = 4(4 - 1) = 12 > 0 \] Bước 4: Xác định các điểm cực đại: - Tại \( x = -1 \), đạo hàm thay đổi từ dương sang âm, do đó \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 0 \), đạo hàm không thay đổi dấu, do đó \( x = 0 \) không phải là điểm cực đại. - Tại \( x = 1 \), đạo hàm thay đổi từ âm sang dương, do đó \( x = 1 \) là điểm cực tiểu. Vậy, đồ thị hàm số \( f(x) \) có 1 điểm cực đại tại \( x = -1 \). Đáp án đúng là: A. 1. Câu 30. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = x^3 - 2x^2 + x + 1$, ta cần tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm cực trị. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x^2 + x + 1) = 3x^2 - 4x + 1 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 - 4x + 1 = 0 \] Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = -4 \), \( c = 1 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{6} = \frac{4 \pm 2}{6} \] Do đó, ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{4 + 2}{6} = 1 \] \[ x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng giữa các điểm cực trị: - Khi \( x < \frac{1}{3} \), chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0 \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{3}) \). - Khi \( \frac{1}{3} < x < 1 \), chọn \( x = \frac{1}{2} \): \[ y'\left(\frac{1}{2}\right) = 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 3\left(\frac{1}{4}\right) - 2 + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0 \] Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{3}, 1\right) \). - Khi \( x > 1 \), chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 12 - 8 + 1 = 5 > 0 \] Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Từ các kết quả trên, ta thấy rằng: - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, \frac{1}{3}) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{3}, 1\right) \). - Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \). Vậy mệnh đề đúng là: A. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( \left(\frac{1}{3}; 1\right) \). Đáp án: A. Câu 31. Để lập luận từng bước về tính chất của hàm số $y = f(x)$ dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến: - Khi $f'(x) > 0$, hàm số $y = f(x)$ là hàm số đồng biến. - Khi $f'(x) < 0$, hàm số $y = f(x)$ là hàm số nghịch biến. 2. Xác định các điểm cực trị: - Điểm cực đại: Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm tại điểm $x = a$, thì $f(a)$ là giá trị cực đại của hàm số. - Điểm cực tiểu: Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại điểm $x = b$, thì $f(b)$ là giá trị cực tiểu của hàm số. 3. Xác định các điểm uốn và khoảng lõm, lồi: - Điểm uốn: Nếu $f''(x)$ đổi dấu tại điểm $x = c$, thì điểm $(c, f(c))$ là điểm uốn của đồ thị hàm số. - Khoảng lõm: Nếu $f''(x) < 0$, đồ thị hàm số lõm xuống. - Khoảng lồi: Nếu $f''(x) > 0$, đồ thị hàm số lồi lên. Bây giờ, giả sử chúng ta có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau: | Intervals | $(-\infty, a)$ | $a$ | $(a, b)$ | $b$ | $(b, +\infty)$ | |-----------|----------------|-----|----------|-----|----------------| | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | Dựa vào bảng này, chúng ta có thể lập luận như sau: 1. Khoảng đồng biến và nghịch biến: - Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty, a)$ và $(b, +\infty)$ vì $f'(x) > 0$ trên các khoảng này. - Hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(a, b)$ vì $f'(x) < 0$ trên khoảng này. 2. Cực trị: - Tại điểm $x = a$, $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm, do đó $f(a)$ là giá trị cực đại của hàm số. - Tại điểm $x = b$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương, do đó $f(b)$ là giá trị cực tiểu của hàm số. 3. Điểm uốn và khoảng lõm, lồi: - Để xác định các điểm uốn và khoảng lõm, lồi, chúng ta cần biết thêm thông tin về dấu của $f''(x)$. Tuy nhiên, dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$, chúng ta có thể suy ra rằng: - Nếu $f''(x)$ đổi dấu tại $x = a$ hoặc $x = b$, thì các điểm $(a, f(a))$ và $(b, f(b))$ có thể là điểm uốn. - Khoảng lõm và lồi phụ thuộc vào dấu của $f''(x)$ trên các khoảng giữa các điểm uốn. Tóm lại, dựa vào bảng xét dấu của $f'(x)$, chúng ta đã xác định được các khoảng đồng biến, nghịch biến, các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số $y = f(x)$. Để hoàn thiện phân tích, chúng ta cần biết thêm thông tin về dấu của $f''(x)$ để xác định các điểm uốn và khoảng lõm, lồi.