Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.

Ta xét hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: Số a chia hết cho 4. Ta viết a = 4k (k là số tự nhiên). Lập tức ta thấy b = k thỏa mãn vì ab + 4 = 4k × k + 4 = 4(k^2 + 1) là số chính phương. - Trường hợp 2: Số a không chia hết cho 4. Ta viết a = 4k + r (k là số tự nhiên, r là số tự nhiên bé hơn 4). Ta thấy r có thể nhận giá trị là 1, 2 hoặc 3. + Nếu r = 1, ta chọn b = 4k + 3. Ta có ab + 4 = (4k + 1)(4k + 3) + 4 = 16k^2 + 16k + 7 + 4 = (4k + 2)^2 là số chính phương. + Nếu r = 2, ta chọn b = 2k + 1. Ta có ab + 4 = (4k + 2)(2k + 1) + 4 = 8k^2 + 8k + 2 + 4 = (2k + 2)^2 là số chính phương. + Nếu r = 3, ta chọn b = 4k + 1. Ta có ab + 4 = (4k + 3)(4k + 1) + 4 = 16k^2 + 16k + 3 + 4 = (4k + 2)^2 là số chính phương. Như vậy, với mọi số tự nhiên a, luôn tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.