gảii chi tiết và chính xác

Câu 10. Công sai của cấp số cộng $(u_n)$ là: $d = u_2 - u_1 = 9 - 3 = 6$ Vậy công sai của cấp số cộng đã cho là 6. Đáp án đúng là: A. 6. Câu 11. Trước tiên, ta xác định các véctơ cần thiết để tìm véctơ $\overrightarrow{AG''}$. 1. Ta biết rằng trong lăng trụ ABC.A'B'C', các véctơ $\overrightarrow{AA'}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ lần lượt là $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$. 2. Trọng tâm G" của tam giác A'B'C' có thể được xác định thông qua các véctơ từ đỉnh A' đến các đỉnh B' và C'. Trọng tâm G" của tam giác A'B'C' sẽ là: \[ \overrightarrow{AG''} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'G''} \] Trong đó, $\overrightarrow{A'G''}$ là véctơ từ A' đến G". Trọng tâm G" của tam giác A'B'C' là trung điểm của ba véctơ từ A' đến các đỉnh B' và C': \[ \overrightarrow{A'G''} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{A'B'} + \overrightarrow{A'C'}) \] 3. Ta biết rằng: \[ \overrightarrow{A'B'} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} \] \[ \overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} \] 4. Do đó: \[ \overrightarrow{A'G''} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] 5. Kết hợp lại, ta có: \[ \overrightarrow{AG''} = \overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{A'G''} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{3} (3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Vậy, véctơ $\overrightarrow{AG''}$ là: \[ \boxed{\frac{1}{3} (3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})} \] Đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3} (3\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$. Câu 12. Để xác định tính chất đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số $y = \sqrt{x^2 - 6x + 5}$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và xem xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y = \sqrt{x^2 - 6x + 5} \] \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 6x + 5} \right) \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 6x + 5) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \cdot (2x - 6) \] \[ y' = \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \] \[ y' = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \] Bước 2: Xác định điều kiện xác định của hàm số. Hàm số $y = \sqrt{x^2 - 6x + 5}$ có nghĩa khi: \[ x^2 - 6x + 5 \geq 0 \] Giải bất phương trình: \[ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \geq 0 \] Phương trình $(x - 1)(x - 5) = 0$ có nghiệm $x = 1$ và $x = 5$. Ta vẽ bảng xét dấu: \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 5) & (5, +\infty) \\ \hline x - 1 & - & + & + \\ x - 5 & - & - & + \\ (x - 1)(x - 5) & + & - & + \\ \end{array} \] Vậy, $x^2 - 6x + 5 \geq 0$ khi $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$. Bước 3: Xét dấu của đạo hàm $y'$ trong các khoảng xác định. \[ y' = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \] Trong khoảng $(-\infty, 1)$: - $x - 3 < 0$ - $\sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0$ Do đó, $y' < 0$, hàm số nghịch biến. Trong khoảng $(5, +\infty)$: - $x - 3 > 0$ - $\sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0$ Do đó, $y' > 0$, hàm số đồng biến. Bước 4: Kết luận. - Hàm số đồng biến trên khoảng $(5, +\infty)$. - Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty, 1)$. Vậy mệnh đề đúng là: A. Hàm số đồng biến trên khoảng $(5;+\infty).$ Đáp án: A. Câu 1. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \). \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x - x) = 2\cos x - 1 \] Phần b) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ 2\cos x - 1 = 0 \] \[ 2\cos x = 1 \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Các nghiệm của phương trình \( \cos x = \frac{1}{2} \) là: \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Phần c) Tìm tập nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \pi]\): Trên đoạn \([0; \pi]\), các giá trị của \( x \) thỏa mãn \( \cos x = \frac{1}{2} \) là: \[ x = \frac{\pi}{3} \] Vậy tập nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \pi]\) là: \[ \left\{ \frac{\pi}{3} \right\} \] Phần d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) trên đoạn \([0; \pi]\): Đầu tiên, tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 2\sin 0 - 0 = 0 \] - Tại \( x = \pi \): \[ f(\pi) = 2\sin \pi - \pi = 0 - \pi = -\pi \] - Tại \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ f\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \] So sánh các giá trị: - \( f(0) = 0 \) - \( f(\pi) = -\pi \) - \( f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -\pi \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) trên đoạn \([0; \pi]\) là: \[ -\pi \] Đáp số: a) \( f'(x) = 2\cos x - 1 \) b) \( x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \) c) \( \left\{ \frac{\pi}{3} \right\} \) d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) trên đoạn \([0; \pi]\) là \( -\pi \). Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Xác định thời điểm ô tô dừng lại Phương trình vận tốc của ô tô là: \[ v(t) = -2t + 20 \] Khi ô tô dừng lại, vận tốc \( v(t) = 0 \): \[ -2t + 20 = 0 \] \[ 2t = 20 \] \[ t = 10 \text{ giây} \] Vậy, ô tô dừng lại sau 10 giây. Đáp án đúng là a). Bước 2: Tìm nguyên hàm của hàm số \( v(t) \) Quãng đường \( s(t) \) là nguyên hàm của hàm số \( v(t) \): \[ s(t) = \int v(t) \, dt = \int (-2t + 20) \, dt \] \[ s(t) = -t^2 + 20t + C \] Bước 3: Tính quãng đường ô tô đi được từ thời điểm đạp phanh đến khi dừng lại Khi \( t = 0 \), ô tô chưa di chuyển, tức là \( s(0) = 0 \): \[ s(0) = -0^2 + 20 \cdot 0 + C = 0 \] \[ C = 0 \] Do đó, phương trình quãng đường là: \[ s(t) = -t^2 + 20t \] Tính quãng đường khi \( t = 10 \) giây: \[ s(10) = -(10)^2 + 20 \cdot 10 \] \[ s(10) = -100 + 200 \] \[ s(10) = 100 \text{ mét} \] Vậy, từ thời điểm đạp phanh đến khi dừng lại, ô tô đi được quãng đường là 100 mét. Đáp án đúng là c). Bước 4: Tính quãng đường mà ô tô đi được trong 15 giây cuối Trong 15 giây cuối, tức là từ \( t = 10 \) giây đến \( t = 25 \) giây. Tuy nhiên, ô tô đã dừng lại sau 10 giây, nên quãng đường trong 15 giây cuối là 0 mét. Đáp án đúng là d). Kết luận - Đáp án đúng là a) và c). Đáp số: a) Ổ tô dừng lại sau 10 giây. c) Từ thời điểm đạp phanh đến khi dừng lại, ô tô đi được quãng đường là 100m. Câu 3. a) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là 99,9%. Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán là: \[ P(\text{đã thanh toán}) = 1 - P(\text{chưa thanh toán}) = 1 - 0,001 = 0,999 \] b) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là 1%. Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là: \[ P(\text{chưa thanh toán} \cap \text{phát chuông}) = P(\text{chưa thanh toán}) \times P(\text{phát chuông} | \text{chưa thanh toán}) = 0,001 \times 0,99 = 0,00099 \] c) Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là 0,1%. Xác suất để hàng qua cửa đã thanh toán và thiết bị phát chuông cảnh báo là: \[ P(\text{đã thanh toán} \cap \text{phát chuông}) = P(\text{đã thanh toán}) \times P(\text{phát chuông} | \text{đã thanh toán}) = 0,999 \times 0,001 = 0,000999 \] d) Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là 0,001%. Xác suất để hàng qua cửa chưa thanh toán và thiết bị không phát chuông cảnh báo là: \[ P(\text{chưa thanh toán} \cap \text{không phát chuông}) = P(\text{chưa thanh toán}) \times P(\text{không phát chuông} | \text{chưa thanh toán}) = 0,001 \times 0,01 = 0,00001 \] Đáp số: a) 0,999 b) 0,00099 c) 0,000999 d) 0,00001 Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A1, A2, A3. 2. Kiểm tra điều kiện để máy quay cân bằng. 3. Kết luận. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm A1, A2, A3. - Điểm A1 thuộc tia Oy và nằm trên đường tròn tâm O, bán kính 1. Do đó, tọa độ của A1 là (0, 1, 0). - Điểm A2 có tọa độ được cho là $\overrightarrow{OA_2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\overrightarrow{i} - \frac{1}{2}\overrightarrow{j}$. Do đó, tọa độ của A2 là $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$. - Điểm A3 đối xứng với A2 qua trục tung. Do đó, tọa độ của A3 là $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, 0\right)$. Bước 2: Kiểm tra điều kiện để máy quay cân bằng. Máy quay cân bằng nếu trọng tâm của ba chân giá đỡ nằm thẳng đứng dưới điểm đặt E(0, 0, 6). Trọng tâm G của ba điểm A1, A2, A3 được tính như sau: \[ G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}, \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} \right) \] Thay tọa độ của A1, A2, A3 vào: \[ G = \left( \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}, \frac{1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{3}, \frac{0 + 0 + 0}{3} \right) = \left( 0, \frac{0}{3}, 0 \right) = (0, 0, 0) \] Trọng tâm G của ba chân giá đỡ là (0, 0, 0), nằm thẳng đứng dưới điểm đặt E(0, 0, 6). Bước 3: Kết luận. Máy quay cân bằng vì trọng tâm của ba chân giá đỡ nằm thẳng đứng dưới điểm đặt E(0, 0, 6). Đáp số: Máy quay cân bằng.