Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x -2023)² = 23 - y²

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm các số tự nhiên $ x $ và $ y $ thỏa mãn phương trình $ 7(x - 2023)^2 = 23 - y^2 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xét phương trình $ 7(x - 2023)^2 = 23 - y^2 $:
   - Ta thấy rằng $ (x - 2023)^2 $ là một số bình phương, do đó nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
   - Do đó, $ 7(x - 2023)^2 \geq 0 $.

2. Xét vế phải của phương trình $ 23 - y^2 $:
   - Ta cũng thấy rằng $ y^2 $ là một số bình phương, do đó nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
   - Do đó, $ 23 - y^2 \leq 23 $.

3. So sánh hai vế:
   - Vì $ 7(x - 2023)^2 \geq 0 $ và $ 23 - y^2 \leq 23 $, ta cần tìm các giá trị $ x $ và $ y $ sao cho $ 7(x - 2023)^2 = 23 - y^2 $.

4. Xét các trường hợp:
   - Nếu $ y = 0 $, ta có $ 23 - y^2 = 23 $. Điều này dẫn đến $ 7(x - 2023)^2 = 23 $. Nhưng $ 23 $ không chia hết cho $ 7 $, nên không có giá trị $ x $ nào thỏa mãn.
   - Nếu $ y = 1 $, ta có $ 23 - y^2 = 22 $. Điều này dẫn đến $ 7(x - 2023)^2 = 22 $. Nhưng $ 22 $ không chia hết cho $ 7 $, nên không có giá trị $ x $ nào thỏa mãn.
   - Nếu $ y = 2 $, ta có $ 23 - y^2 = 19 $. Điều này dẫn đến $ 7(x - 2023)^2 = 19 $. Nhưng $ 19 $ không chia hết cho $ 7 $, nên không có giá trị $ x $ nào thỏa mãn.
   - Nếu $ y = 3 $, ta có $ 23 - y^2 = 14 $. Điều này dẫn đến $ 7(x - 2023)^2 = 14 $. Điều này có nghĩa là $ (x - 2023)^2 = 2 $. Nhưng $ 2 $ không là số bình phương, nên không có giá trị $ x $ nào thỏa mãn.
   - Nếu $ y = 4 $, ta có $ 23 - y^2 = 7 $. Điều này dẫn đến $ 7(x - 2023)^2 = 7 $. Điều này có nghĩa là $ (x - 2023)^2 = 1 $. Điều này có nghĩa là $ x - 2023 = 1 $ hoặc $ x - 2023 = -1 $. 
     - Nếu $ x - 2023 = 1 $, ta có $ x = 2024 $.
     - Nếu $ x - 2023 = -1 $, ta có $ x = 2022 $.

5. Kiểm tra lại:
   - Với $ x = 2024 $ và $ y = 4 $:
     $$
     7(2024 - 2023)^2 = 7 \times 1^2 = 7
     $$
     $$
     23 - 4^2 = 23 - 16 = 7
     $$
     Vậy phương trình đúng.
   - Với $ x = 2022 $ và $ y = 4 $:
     $$
     7(2022 - 2023)^2 = 7 \times (-1)^2 = 7
     $$
     $$
     23 - 4^2 = 23 - 16 = 7
     $$
     Vậy phương trình đúng.

Vậy các cặp số tự nhiên $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình là $ (2024, 4) $ và $ (2022, 4) $.