trả lời câu

Câu 1. Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp tứ giác đều S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi O là tâm của đáy ABCD. - Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ S xuống đáy ABCD. - Ta có \(AB \parallel CD\), do đó khoảng cách giữa AB và SD sẽ bằng khoảng cách giữa CD và SD. 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SCD): - Mặt phẳng (SCD) có hai vectơ \( \overrightarrow{CD} \) và \( \overrightarrow{SD} \). - \( \overrightarrow{CD} = (-2, 0, 0) \) - \( \overrightarrow{SD} = (1, 1, -\sqrt{3}) \) Vectơ pháp tuyến \( \overrightarrow{n} \) của mặt phẳng (SCD) là: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{SD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = (0, 2\sqrt{3}, -2) \] 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD): - Phương trình mặt phẳng (SCD) có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), với \( \overrightarrow{n} = (0, 2\sqrt{3}, -2) \). Thay tọa độ của điểm D vào phương trình mặt phẳng để tìm d: \[ 0 \cdot 1 + 2\sqrt{3} \cdot 1 - 2 \cdot (-\sqrt{3}) + d = 0 \implies 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + d = 0 \implies d = -4\sqrt{3} \] Vậy phương trình mặt phẳng (SCD) là: \[ 2\sqrt{3}y - 2z - 4\sqrt{3} = 0 \] Khoảng cách từ điểm A(0, 0, 0) đến mặt phẳng này là: \[ d = \frac{|2\sqrt{3} \cdot 0 - 2 \cdot 0 - 4\sqrt{3}|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-2)^2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{12 + 4}} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \] 4. Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là \(\sqrt{3}\). Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ \sqrt{3} \approx 1.73 \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là 1.73. Câu 2. Để tìm tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất, chúng ta sẽ áp dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị, cụ thể là thuật toán của Euler hoặc Hamilton tùy thuộc vào cấu trúc đồ thị. Trước tiên, chúng ta cần xác định xem đồ thị này có đường đi Euler hay không. Đường đi Euler là đường đi qua mỗi cạnh của đồ thị đúng một lần và trở về đỉnh xuất phát. Đồ thị này có 6 đỉnh: A, B, C, D, E, F. Chúng ta kiểm tra bậc của mỗi đỉnh: - Đỉnh A có 3 cạnh liên kết (A-B, A-C, A-D) - Đỉnh B có 3 cạnh liên kết (B-A, B-C, B-E) - Đỉnh C có 4 cạnh liên kết (C-A, C-B, C-D, C-F) - Đỉnh D có 3 cạnh liên kết (D-A, D-C, D-E) - Đỉnh E có 3 cạnh liên kết (E-B, E-D, E-F) - Đỉnh F có 2 cạnh liên kết (F-C, F-E) Như vậy, đồ thị này có 4 đỉnh lẻ (A, B, D, E) và 2 đỉnh chẵn (C, F). Vì số đỉnh lẻ là 4, nên đồ thị này không có đường đi Euler. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể tìm đường đi ngắn nhất bằng cách thêm các cạnh giả để tạo ra đường đi Euler. Chúng ta sẽ thêm các cạnh giả giữa các đỉnh lẻ để tạo ra đường đi Euler. Cụ thể, chúng ta có thể thêm các cạnh giả giữa các đỉnh A và B, D và E. Sau khi thêm các cạnh giả, chúng ta có thể tìm đường đi Euler như sau: A - B - C - A - D - C - F - E - D - E - B - F - A Tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất là: AB + BC + CA + AD + DC + CF + FE + ED + EB + BF + FA = 3 + 4 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 + 4 + 3 + 3 + 2 = 33 Vậy tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất là 33 đơn vị độ dài. Câu 3. Để xác định tọa độ của điểm M, ta cần sử dụng các thông tin về khoảng cách từ M đến các vệ tinh A, B, C, D. Ta sẽ viết các phương trình mặt cầu dựa trên các khoảng cách đã cho và giải hệ phương trình này để tìm tọa độ của M. Phương trình mặt cầu tâm A(-1, 6, 3) và bán kính MA = 6: \[ (x + 1)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 = 36 \] Phương trình mặt cầu tâm B(4, 8, 1) và bán kính MB = 7: \[ (x - 4)^2 + (y - 8)^2 + (z - 1)^2 = 49 \] Phương trình mặt cầu tâm C(9, 6, 7) và bán kính MC = 12: \[ (x - 9)^2 + (y - 6)^2 + (z - 7)^2 = 144 \] Phương trình mặt cầu tâm D(-15, 18, 7) và bán kính MD = 24: \[ (x + 15)^2 + (y - 18)^2 + (z - 7)^2 = 576 \] Ta sẽ giải hệ phương trình này để tìm tọa độ của M. Trước tiên, ta sẽ trừ từng phương trình mặt cầu từ phương trình khác để loại bỏ các bình phương và tìm các phương trình tuyến tính. Từ phương trình mặt cầu tâm A và B: \[ (x + 1)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 - ((x - 4)^2 + (y - 8)^2 + (z - 1)^2) = 36 - 49 \] \[ (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36 + z^2 - 6z + 9) - (x^2 - 8x + 16 + y^2 - 16y + 64 + z^2 - 2z + 1) = -13 \] \[ 10x + 4y - 4z + 20 = -13 \] \[ 10x + 4y - 4z = -33 \quad \text{(1)} \] Từ phương trình mặt cầu tâm A và C: \[ (x + 1)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 - ((x - 9)^2 + (y - 6)^2 + (z - 7)^2) = 36 - 144 \] \[ (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36 + z^2 - 6z + 9) - (x^2 - 18x + 81 + y^2 - 12y + 36 + z^2 - 14z + 49) = -108 \] \[ 20x + 8z - 94 = -108 \] \[ 20x + 8z = -14 \quad \text{(2)} \] Từ phương trình mặt cầu tâm A và D: \[ (x + 1)^2 + (y - 6)^2 + (z - 3)^2 - ((x + 15)^2 + (y - 18)^2 + (z - 7)^2) = 36 - 576 \] \[ (x^2 + 2x + 1 + y^2 - 12y + 36 + z^2 - 6z + 9) - (x^2 + 30x + 225 + y^2 - 36y + 324 + z^2 - 14z + 49) = -540 \] \[ -28x + 24y + 8z - 538 = -540 \] \[ -28x + 24y + 8z = -2 \quad \text{(3)} \] Giải hệ phương trình (1), (2), và (3): \[ 10x + 4y - 4z = -33 \quad \text{(1)} \] \[ 20x + 8z = -14 \quad \text{(2)} \] \[ -28x + 24y + 8z = -2 \quad \text{(3)} \] Từ phương trình (2): \[ 20x + 8z = -14 \] \[ 10x + 4z = -7 \quad \text{(4)} \] Từ phương trình (1) và (4): \[ 10x + 4y - 4z = -33 \] \[ 10x + 4z = -7 \] \[ 4y - 8z = -26 \] \[ y - 2z = -6.5 \quad \text{(5)} \] Từ phương trình (3) và (4): \[ -28x + 24y + 8z = -2 \] \[ 10x + 4z = -7 \] \[ -28x + 24y + 8z = -2 \] \[ -28x + 24y + 8z = -2 \] \[ -28x + 24y + 8z = -2 \] Giải phương trình (5): \[ y - 2z = -6.5 \] \[ y = 2z - 6.5 \] Thay vào phương trình (4): \[ 10x + 4z = -7 \] \[ 10x = -7 - 4z \] \[ x = \frac{-7 - 4z}{10} \] Thay vào phương trình (3): \[ -28x + 24y + 8z = -2 \] \[ -28 \left(\frac{-7 - 4z}{10}\right) + 24(2z - 6.5) + 8z = -2 \] \[ \frac{196 + 112z}{10} + 48z - 156 + 8z = -2 \] \[ 19.6 + 11.2z + 48z - 156 + 8z = -2 \] \[ 19.6 + 67.2z - 156 = -2 \] \[ 67.2z - 136.4 = -2 \] \[ 67.2z = 134.4 \] \[ z = 2 \] Thay z = 2 vào phương trình (5): \[ y = 2(2) - 6.5 \] \[ y = 4 - 6.5 \] \[ y = -2.5 \] Thay z = 2 vào phương trình (4): \[ 10x + 4(2) = -7 \] \[ 10x + 8 = -7 \] \[ 10x = -15 \] \[ x = -1.5 \] Vậy tọa độ của M là (-1.5, -2.5, 2). Do đó, \(a + b + c = -1.5 + (-2.5) + 2 = -2\). Đáp án đúng là: \(C.~M(1;2;-1)\). Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết thêm thông tin về chi phí dự kiến cho việc xây dựng cầu, thời gian hoàn thành dự án, và các yếu tố khác liên quan đến ngân sách. Tuy nhiên, tôi sẽ giả sử rằng chúng ta đã có tất cả các thông tin cần thiết để tính toán số tiền cần thiết cho dự án. Bước 1: Xác định các chi phí liên quan - Chi phí vật liệu - Chi phí nhân công - Chi phí máy móc và thiết bị - Chi phí quản lý và giám sát - Chi phí bảo hiểm và thuế Bước 2: Tính toán tổng chi phí Tổng chi phí = Chi phí vật liệu + Chi phí nhân công + Chi phí máy móc và thiết bị + Chi phí quản lý và giám sát + Chi phí bảo hiểm và thuế Bước 3: Xác định thời gian hoàn thành dự án Giả sử thời gian hoàn thành dự án là T tháng. Bước 4: Tính toán số tiền cần thiết mỗi tháng Số tiền cần thiết mỗi tháng = Tổng chi phí / Thời gian hoàn thành dự án Bước 5: Kết luận Số tiền cần thiết cho dự án xây cầu ở huyện B bắc ngang qua con sông C là [tổng chi phí] trong thời gian [T] tháng. Lưu ý: Để có kết quả chính xác, chúng ta cần biết các thông tin cụ thể về chi phí vật liệu, nhân công, máy móc và thiết bị, quản lý và giám sát, bảo hiểm và thuế.