Giải bài tâp

Câu 11. Để giải phương trình $\log_5(2x+19)=2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_5(2x+19)=2$, ta cần đảm bảo rằng $2x + 19 > 0$. - Điều kiện này luôn đúng vì $2x + 19$ luôn lớn hơn 0 khi $x$ là số thực. 2. Giải phương trình: - Ta có $\log_5(2x+19)=2$. Điều này có nghĩa là $2x + 19 = 5^2$. - Tính $5^2 = 25$, vậy ta có phương trình $2x + 19 = 25$. - Giải phương trình này: \[ 2x + 19 = 25 \\ 2x = 25 - 19 \\ 2x = 6 \\ x = \frac{6}{2} \\ x = 3 \] 3. Kiểm tra nghiệm: - Thay $x = 3$ vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ \log_5(2 \cdot 3 + 19) = \log_5(6 + 19) = \log_5(25) = 2 \] - Kết quả đúng, vậy $x = 3$ là nghiệm của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình $\log_5(2x+19)=2$ là $x = 3$. Đáp án: A. 3 Câu 12. Để giải phương trình $(\frac{8}{13})^{-7x+12} = (\frac{13}{8})^{x^2}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Phương trình đã cho không chứa các ràng buộc đặc biệt về biến số \( x \), do đó ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Chuyển đổi cơ số: - Ta nhận thấy rằng \((\frac{13}{8}) = (\frac{8}{13})^{-1}\). Do đó, phương trình có thể viết lại dưới dạng: \[ (\frac{8}{13})^{-7x+12} = ((\frac{8}{13})^{-1})^{x^2} \] - Điều này tương đương với: \[ (\frac{8}{13})^{-7x+12} = (\frac{8}{13})^{-x^2} \] 3. So sánh các mũ: - Vì hai vế đều có cùng cơ số \((\frac{8}{13})\), ta có thể so sánh các mũ của chúng: \[ -7x + 12 = -x^2 \] 4. Lập phương trình bậc hai: - Đặt \( y = x^2 \): \[ -7x + 12 = -x^2 \] - Nhân cả hai vế với \(-1\) để đơn giản hóa: \[ x^2 - 7x + 12 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình \( x^2 - 7x + 12 = 0 \): \[ x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0 \] - Từ đây, ta tìm được các nghiệm: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 4 = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] 6. Kiểm tra điều kiện: - Các giá trị \( x = 3 \) và \( x = 4 \) đều thỏa mãn ĐKXĐ \( x \in \mathbb{R} \). Vậy nghiệm của phương trình là \( x_1 = 3 \) và \( x_2 = 4 \). Đáp án đúng là: \[ C.~x_1 = 4,~x_2 = 3 \] Câu 13. Để giải phương trình $\log_2(-3x^2 + 2) = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\log_2(-3x^2 + 2)$, ta cần đảm bảo rằng $-3x^2 + 2 > 0$. - Giải bất phương trình $-3x^2 + 2 > 0$: \[ -3x^2 + 2 > 0 \implies 3x^2 < 2 \implies x^2 < \frac{2}{3} \implies -\sqrt{\frac{2}{3}} < x < \sqrt{\frac{2}{3}} \] Do đó, ĐKXĐ là $-\sqrt{\frac{2}{3}} < x < \sqrt{\frac{2}{3}}$. 2. Giải phương trình logarit: - Phương trình $\log_2(-3x^2 + 2) = 2$ tương đương với $-3x^2 + 2 = 2^2$. - Ta có: \[ -3x^2 + 2 = 4 \implies -3x^2 = 2 \implies x^2 = -\frac{2}{3} \] - Điều này là vô lý vì $x^2$ không thể là số âm. Do đó, phương trình $\log_2(-3x^2 + 2) = 2$ không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện xác định. Đáp án: D. $\emptyset$ Câu 14. Để giải phương trình $\log_4(x^2+2x-7)=\log_4(x-1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_4(x^2+2x-7)$, ta cần $x^2 + 2x - 7 > 0$. - Đối với $\log_4(x-1)$, ta cần $x - 1 > 0$, suy ra $x > 1$. 2. Giải bất phương trình $x^2 + 2x - 7 > 0$: - Ta giải phương trình $x^2 + 2x - 7 = 0$ để tìm các điểm cực trị: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2} = \frac{-2 \pm 4\sqrt{2}}{2} = -1 \pm 2\sqrt{2} \] - Vậy các nghiệm là $x = -1 + 2\sqrt{2}$ và $x = -1 - 2\sqrt{2}$. - Bất phương trình $x^2 + 2x - 7 > 0$ sẽ đúng trong các khoảng $( -\infty, -1 - 2\sqrt{2})$ và $( -1 + 2\sqrt{2}, +\infty)$. 3. Lấy giao của các điều kiện xác định: - Kết hợp điều kiện $x > 1$ và $x^2 + 2x - 7 > 0$, ta có: \[ x > 1 \quad \text{và} \quad x > -1 + 2\sqrt{2} \] - Vì $-1 + 2\sqrt{2} \approx 1.828$, nên điều kiện chung là $x > 1.828$. 4. Xét phương trình $\log_4(x^2+2x-7)=\log_4(x-1)$: - Do hai biểu thức logarit có cùng cơ số, ta có thể loại bỏ cơ số và so sánh các biểu thức bên trong: \[ x^2 + 2x - 7 = x - 1 \] - Rút gọn phương trình: \[ x^2 + 2x - 7 - x + 1 = 0 \implies x^2 + x - 6 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \] - Vậy các nghiệm là $x = 2$ và $x = -3$. 5. Kiểm tra lại điều kiện xác định: - $x = 2$: Thỏa mãn $x > 1.828$. - $x = -3$: Không thỏa mãn $x > 1.828$. Do đó, tập nghiệm của phương trình là $\{2\}$. Đáp án: D. {2}. Câu 15. Để giải phương trình $\log_5(x^2-5x-10)=\log_5(-3x+5)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình $\log_5(x^2-5x-10)=\log_5(-3x+5)$ có nghĩa là: \[ x^2 - 5x - 10 > 0 \quad \text{và} \quad -3x + 5 > 0 \] Giải bất phương trình $x^2 - 5x - 10 > 0$: Ta tìm nghiệm của phương trình $x^2 - 5x - 10 = 0$: \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 40}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{65}}{2} \] Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $x^2 - 5x - 10 > 0$ là: \[ x < \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x > \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \] Giải bất phương trình $-3x + 5 > 0$: \[ -3x > -5 \implies x < \frac{5}{3} \] Vậy ĐKXĐ của phương trình là: \[ x < \frac{5 - \sqrt{65}}{2} \quad \text{hoặc} \quad x > \frac{5 + \sqrt{65}}{2} \quad \text{và} \quad x < \frac{5}{3} \] Bước 2: Giải phương trình Vì hai biểu thức logarit có cùng cơ số, ta có: \[ x^2 - 5x - 10 = -3x + 5 \] Rearrange the equation: \[ x^2 - 5x + 3x - 10 - 5 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 15 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \] Bước 3: Kiểm tra điều kiện xác định - Với $x = 5$: \[ x^2 - 5x - 10 = 25 - 25 - 10 = -10 \quad (\text{không thỏa mãn } x^2 - 5x - 10 > 0) \] \[ -3x + 5 = -15 + 5 = -10 \quad (\text{không thỏa mãn } -3x + 5 > 0) \] - Với $x = -3$: \[ x^2 - 5x - 10 = 9 + 15 - 10 = 14 \quad (\text{thỏa mãn } x^2 - 5x - 10 > 0) \] \[ -3x + 5 = 9 + 5 = 14 \quad (\text{thỏa mãn } -3x + 5 > 0) \] Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là $x = -3$. Đáp án: D. $\{-3\}$ Câu 16. Điều kiện xác định: \( x > 0 \). Phương trình đã cho là: \[ 5 \log_4(16x) + 3 \log_{\sqrt{4}}(x) + \log_{\frac{1}{4}}(x) = 60. \] Chúng ta sẽ chuyển đổi các biểu thức logarit về cùng cơ số 4: \[ \log_4(16x) = \log_4(16) + \log_4(x) = 2 + \log_4(x). \] \[ \log_{\sqrt{4}}(x) = \log_{2}(x) = \frac{\log_4(x)}{\log_4(2)} = \frac{\log_4(x)}{\frac{1}{2}} = 2 \log_4(x). \] \[ \log_{\frac{1}{4}}(x) = -\log_4(x). \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ 5(2 + \log_4(x)) + 3(2 \log_4(x)) - \log_4(x) = 60. \] Mở ngoặc và gom các hạng tử liên quan đến \(\log_4(x)\): \[ 10 + 5 \log_4(x) + 6 \log_4(x) - \log_4(x) = 60. \] \[ 10 + 10 \log_4(x) = 60. \] Trừ 10 từ cả hai vế: \[ 10 \log_4(x) = 50. \] Chia cả hai vế cho 10: \[ \log_4(x) = 5. \] Chuyển đổi về dạng mũ: \[ x = 4^5 = 1024. \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1024 \). Đáp án đúng là: \( B.~x=1024 \). Câu 17. Để giải phương trình $5 \cdot 4^{x+1} - 4^{x-1} + 4 \cdot 4^x = 1520$, ta thực hiện các bước sau: 1. Rút gọn các hạng tử chứa cùng cơ số: \[ 5 \cdot 4^{x+1} - 4^{x-1} + 4 \cdot 4^x = 1520 \] 2. Áp dụng quy tắc lũy thừa để viết lại các hạng tử: \[ 5 \cdot 4 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} + 4 \cdot 4^x = 1520 \] \[ 20 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} + 4 \cdot 4^x = 1520 \] 3. Quy đồng mẫu số và rút gọn: \[ 20 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} + 4 \cdot 4^x = 1520 \] \[ 20 \cdot 4^x + 4 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} = 1520 \] \[ (20 + 4) \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} = 1520 \] \[ 24 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4} = 1520 \] 4. Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: \[ 4 \cdot (24 \cdot 4^x - \frac{4^x}{4}) = 4 \cdot 1520 \] \[ 96 \cdot 4^x - 4^x = 6080 \] \[ (96 - 1) \cdot 4^x = 6080 \] \[ 95 \cdot 4^x = 6080 \] 5. Chia cả hai vế cho 95: \[ 4^x = \frac{6080}{95} \] \[ 4^x = 64 \] 6. Viết 64 dưới dạng lũy thừa cơ số 4: \[ 4^x = 4^3 \] 7. So sánh các lũy thừa: \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \). Đáp án đúng là: \( D.~x=3 \). Câu 18. Để giải phương trình $-2 \cdot 4^{x+1} - 4^{x-1} + 3 \cdot 4^x = -336$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Đặt $y = 4^x$. Phương trình trở thành: \[ -2 \cdot 4 \cdot y - \frac{y}{4} + 3 \cdot y = -336 \] \[ -8y - \frac{y}{4} + 3y = -336 \] Bước 2: Quy đồng mẫu số để giải phương trình: \[ -8y - \frac{y}{4} + 3y = -336 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ -32y - y + 12y = -1344 \] \[ -21y = -1344 \] Bước 3: Giải phương trình bậc nhất: \[ y = \frac{-1344}{-21} \] \[ y = 64 \] Bước 4: Thay lại $y = 4^x$: \[ 4^x = 64 \] \[ 4^x = 4^3 \] \[ x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.