Giải bài tập

Câu 27. Để giải phương trình $\log_4(5x^2 + 5) = 2$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình logarit, biểu thức trong dấu logarit phải lớn hơn 0: \[ 5x^2 + 5 > 0 \] Điều này luôn đúng vì $5x^2 + 5$ luôn lớn hơn 0 với mọi giá trị của $x$. Do đó, ĐKXĐ là tất cả các số thực. 2. Chuyển đổi phương trình logarit thành phương trình đại số: - Ta có: \[ \log_4(5x^2 + 5) = 2 \] - Điều này tương đương với: \[ 5x^2 + 5 = 4^2 \] - Tính $4^2$: \[ 4^2 = 16 \] - Vậy phương trình trở thành: \[ 5x^2 + 5 = 16 \] 3. Giải phương trình đại số: - Chuyển 5 sang phía bên phải: \[ 5x^2 = 16 - 5 \] \[ 5x^2 = 11 \] - Chia cả hai vế cho 5: \[ x^2 = \frac{11}{5} \] - Lấy căn bậc hai của cả hai vế: \[ x = \pm \sqrt{\frac{11}{5}} \] \[ x = \pm \frac{\sqrt{55}}{5} \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Các giá trị $x = \frac{\sqrt{55}}{5}$ và $x = -\frac{\sqrt{55}}{5}$ đều thỏa mãn điều kiện $5x^2 + 5 > 0$. Vậy tập nghiệm của phương trình là: \[ \left\{-\frac{\sqrt{55}}{5}, \frac{\sqrt{55}}{5}\right\} \] Đáp án đúng là: $A.~\left\{-\frac{\sqrt{55}}{5}, \frac{\sqrt{55}}{5}\right\}$ Câu 28. Để giải phương trình $(\frac{11}{5})^{-6x+5}.(\frac{5}{11})^{-x+1}=(\frac{5}{11})^{x^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi các phân số thành cùng cơ số: $(\frac{11}{5})^{-6x+5}.(\frac{5}{11})^{-x+1}=(\frac{5}{11})^{x^2}$ $= (\frac{11}{5})^{-6x+5}.(\frac{11}{5})^{x-1}=(\frac{11}{5})^{-x^2}$ Bước 2: Gộp các lũy thừa có cùng cơ số: $(\frac{11}{5})^{-6x+5+x-1}=(\frac{11}{5})^{-x^2}$ $= (\frac{11}{5})^{-5x+4}=(\frac{11}{5})^{-x^2}$ Bước 3: So sánh các mũ của hai vế: $-5x + 4 = -x^2$ Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để lập phương trình bậc hai: $x^2 - 5x + 4 = 0$ Bước 5: Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này: $x^2 - 5x + 4 = 0$ $(x - 1)(x - 4) = 0$ Bước 6: Tìm nghiệm của phương trình: $x - 1 = 0$ hoặc $x - 4 = 0$ $x = 1$ hoặc $x = 4$ Bước 7: Tính tổng các nghiệm: Tổng các nghiệm của phương trình là $1 + 4 = 5$. Vậy đáp án đúng là D. 5. Câu 29. Điều kiện xác định: $-x^2 + 2 > 0$ $\Rightarrow x^2 < 2$ $\Rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$ Phương trình $\log_5(-x^2+2)=2$ tương đương với: $-x^2 + 2 = 5^2$ $-x^2 + 2 = 25$ $x^2 = -23$ Phương trình $x^2 = -23$ vô nghiệm vì $x^2$ luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Do đó, tập nghiệm của phương trình là $\emptyset$. Đáp án đúng là: D. $\emptyset$ Câu 30. Để giải phương trình $\log_3(-x^2+9x-12)=\log_3(2x-2)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_3(-x^2+9x-12)$, ta cần $-x^2 + 9x - 12 > 0$. - Đối với $\log_3(2x-2)$, ta cần $2x - 2 > 0$. 2. Giải bất phương trình để tìm ĐKXĐ: - Giải $-x^2 + 9x - 12 > 0$: Ta giải phương trình $-x^2 + 9x - 12 = 0$: \[ x^2 - 9x + 12 = 0 \] Tìm nghiệm của phương trình này: \[ x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 48}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{33}}{2} \] Vậy nghiệm là: \[ x = \frac{9 + \sqrt{33}}{2} \quad \text{và} \quad x = \frac{9 - \sqrt{33}}{2} \] Do đó, $-x^2 + 9x - 12 > 0$ khi: \[ \frac{9 - \sqrt{33}}{2} < x < \frac{9 + \sqrt{33}}{2} \] - Giải $2x - 2 > 0$: \[ 2x > 2 \implies x > 1 \] 3. Lập phương trình từ điều kiện đã cho: Vì hai biểu thức logarit bằng nhau, ta có: \[ -x^2 + 9x - 12 = 2x - 2 \] Rút gọn phương trình: \[ -x^2 + 9x - 12 - 2x + 2 = 0 \implies -x^2 + 7x - 10 = 0 \implies x^2 - 7x + 10 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2} \] Vậy nghiệm là: \[ x = 5 \quad \text{và} \quad x = 2 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - Với $x = 5$: \[ -5^2 + 9 \cdot 5 - 12 = -25 + 45 - 12 = 8 > 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] \[ 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8 > 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] - Với $x = 2$: \[ -2^2 + 9 \cdot 2 - 12 = -4 + 18 - 12 = 2 > 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] \[ 2 \cdot 2 - 2 = 4 - 2 = 2 > 0 \quad \text{(thỏa mãn)} \] 5. Kết luận: Cả hai giá trị $x = 2$ và $x = 5$ đều thỏa mãn điều kiện xác định và phương trình ban đầu. Do đó, tập nghiệm của phương trình là: \[ \boxed{\{2; 5\}} \] Câu 31. Để giải phương trình $(\frac{11}{13})^{-7x+6}.(\frac{13}{11})^{-3x+3}=(\frac{13}{11})^{x^2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển đổi các phân số thành dạng cơ số giống nhau: $(\frac{11}{13})^{-7x+6} = (\frac{13}{11})^{7x-6}$ Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu: $(\frac{13}{11})^{7x-6}.(\frac{13}{11})^{-3x+3}=(\frac{13}{11})^{x^2}$ Bước 3: Cộng các mũ lại với nhau: $(\frac{13}{11})^{(7x-6)+(-3x+3)}=(\frac{13}{11})^{x^2}$ $(\frac{13}{11})^{4x-3}=(\frac{13}{11})^{x^2}$ Bước 4: Vì cơ số giống nhau, ta so sánh các mũ: $4x - 3 = x^2$ Bước 5: Chuyển tất cả về một vế để lập phương trình bậc hai: $x^2 - 4x + 3 = 0$ Bước 6: Giải phương trình bậc hai: Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình: $x^2 - 4x + 3 = 0$ $(x - 1)(x - 3) = 0$ Bước 7: Tìm nghiệm của phương trình: $x - 1 = 0$ hoặc $x - 3 = 0$ $x = 1$ hoặc $x = 3$ Bước 8: Tính tổng các nghiệm: Tổng các nghiệm là $1 + 3 = 4$ Vậy đáp án đúng là B. 4. Câu 32. Điều kiện: \( x > 0 \). Phương trình đã cho là: \[ -3\log_4(4x) + 2\log_{\sqrt{4}}x - 5\log_{\frac{1}{4}}x = 27. \] Ta sẽ chuyển đổi các biểu thức logarit về cùng cơ số 4: \[ \log_{\sqrt{4}}x = \log_{2}x = \frac{\log_4 x}{\log_4 2} = 2\log_4 x, \] \[ \log_{\frac{1}{4}}x = \log_{4^{-1}}x = -\log_4 x. \] Thay vào phương trình ban đầu: \[ -3(\log_4 4 + \log_4 x) + 2(2\log_4 x) - 5(-\log_4 x) = 27. \] Biến đổi tiếp: \[ -3(1 + \log_4 x) + 4\log_4 x + 5\log_4 x = 27, \] \[ -3 - 3\log_4 x + 9\log_4 x = 27, \] \[ -3 + 6\log_4 x = 27, \] \[ 6\log_4 x = 30, \] \[ \log_4 x = 5. \] Do đó: \[ x = 4^5 = 1024. \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1024 \). Đáp án đúng là \( A.~x=1024 \).