giải ptrinh 2x²-4x-6=√(x²-2x-3)+1

Question

Accepted Answer

Để giải phương trình $2x^2 - 4x - 6 = \sqrt{x^2 - 2x - 3} + 1$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ):
Phương trình có chứa căn thức $\sqrt{x^2 - 2x - 3}$, do đó ta cần $x^2 - 2x - 3 \geq 0$.

Ta giải bất phương trình $x^2 - 2x - 3 \geq 0$:
$$x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$$
Vậy $x^2 - 2x - 3 \geq 0$ khi $x \leq -1$ hoặc $x \geq 3$.

Bước 2: Đặt $t = x^2 - 2x - 3$, ta có:
$$2(x^2 - 2x - 3) = \sqrt{x^2 - 2x - 3} + 1$$
$$2t = \sqrt{t} + 1$$

Bước 3: Giải phương trình $2t = \sqrt{t} + 1$:
Đặt $u = \sqrt{t}$, ta có $u^2 = t$. Phương trình trở thành:
$$2u^2 = u + 1$$
$$2u^2 - u - 1 = 0$$

Giải phương trình bậc hai $2u^2 - u - 1 = 0$ bằng phương pháp phân tích:
$$2u^2 - u - 1 = (2u + 1)(u - 1) = 0$$

Vậy $u = -\frac{1}{2}$ hoặc $u = 1$.

Do $u = \sqrt{t} \geq 0$, ta loại $u = -\frac{1}{2}$ và giữ lại $u = 1$.

Bước 4: Tìm $t$ từ $u = 1$:
$$u = 1 \Rightarrow \sqrt{t} = 1 \Rightarrow t = 1$$

Bước 5: Tìm $x$ từ $t = 1$:
$$x^2 - 2x - 3 = 1$$
$$x^2 - 2x - 4 = 0$$

Giải phương trình bậc hai $x^2 - 2x - 4 = 0$ bằng phương pháp hoàn chỉnh bình phương:
$$x^2 - 2x + 1 = 5$$
$$(x - 1)^2 = 5$$
$$x - 1 = \pm \sqrt{5}$$
$$x = 1 + \sqrt{5}$$ hoặc $x = 1 - \sqrt{5}$

Bước 6: Kiểm tra điều kiện xác định:
- $x = 1 + \sqrt{5}$: Ta có $x^2 - 2x - 3 = (1 + \sqrt{5})^2 - 2(1 + \sqrt{5}) - 3 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 - 2 - 2\sqrt{5} - 3 = 1 \geq 0$. Điều kiện thỏa mãn.
- $x = 1 - \sqrt{5}$: Ta có $x^2 - 2x - 3 = (1 - \sqrt{5})^2 - 2(1 - \sqrt{5}) - 3 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 - 2 + 2\sqrt{5} - 3 = 1 \geq 0$. Điều kiện thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1 + \sqrt{5}$ và $x = 1 - \sqrt{5}$.

Đáp số: $x = 1 + \sqrt{5}$ hoặc $x = 1 - \sqrt{5}$.