Trả lời câu 3

Câu 3: Lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán x sản phẩm là: \[ h(x) = f(x) - g(x) - tx = (2025x - x^2) - (x^2 + 1361x - 1209) - tx = -2x^2 + (664 - t)x + 1209 \] Để doanh nghiệp nhận được lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho \( h(x) \) đạt giá trị lớn nhất. Đạo hàm của \( h(x) \): \[ h'(x) = -4x + 664 - t \] Đặt \( h'(x) = 0 \): \[ -4x + 664 - t = 0 \] \[ x = \frac{664 - t}{4} \] Để \( h(x) \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần kiểm tra \( h''(x) \): \[ h''(x) = -4 \] Vì \( h''(x) < 0 \), nên \( h(x) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = \frac{664 - t}{4} \). Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất. Số tiền thuế phụ thu là: \[ T(x) = tx \] Thay \( x = \frac{664 - t}{4} \) vào \( T(x) \): \[ T(t) = t \left( \frac{664 - t}{4} \right) = \frac{t(664 - t)}{4} = \frac{664t - t^2}{4} \] Để \( T(t) \) đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm đạo hàm của \( T(t) \): \[ T'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{664t - t^2}{4} \right) = \frac{664 - 2t}{4} \] Đặt \( T'(t) = 0 \): \[ \frac{664 - 2t}{4} = 0 \] \[ 664 - 2t = 0 \] \[ t = 332 \] Kiểm tra đạo hàm thứ hai: \[ T''(t) = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] Vì \( T''(t) < 0 \), nên \( T(t) \) đạt giá trị lớn nhất tại \( t = 332 \). Vậy giá trị của \( t \) để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó là: \[ \boxed{332} \] Câu 4: Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2. - Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. - J là trung điểm của SD. - Góc nhị diện $[J,BC,D] = 60^\circ$. Bước 1: Xác định chiều cao của chóp S.ABCD. Do SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD, nên đường thẳng SA vuông góc với đáy ABCD. Do đó, SA là chiều cao của chóp S.ABCD. Bước 2: Xác định vị trí của J và tính khoảng cách từ J đến BC. J là trung điểm của SD, do đó J nằm trên đường thẳng SD và chia SD thành hai đoạn bằng nhau. Ta cần tính khoảng cách từ J đến BC để xác định chiều cao của tam giác JBC. Bước 3: Xác định góc nhị diện $[J,BC,D]$. Góc nhị diện giữa hai mặt phẳng JBC và BCD là góc giữa hai đường thẳng vuông góc hạ từ J và D xuống mặt phẳng BCD. Gọi giao điểm của đường thẳng vuông góc hạ từ J xuống mặt phẳng BCD là K. Ta có $\angle JKD = 60^\circ$. Bước 4: Tính khoảng cách từ J đến mặt phẳng BCD. Ta có $\triangle JKD$ là tam giác vuông tại K, với $\angle JKD = 60^\circ$. Do đó, ta có: \[ JK = JD \cdot \sin(60^\circ) = \frac{SD}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2} \] Bước 5: Tính diện tích đáy ABCD. Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 2 \times 2 = 4 \] Bước 6: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA \] Do SA là chiều cao của chóp và SA = SD (vì SAB là tam giác cân tại S), ta có: \[ SA = 2\sqrt{2} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ V = \frac{1}{3} \times 4 \times 2\sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{3} \approx 3.77 \] Đáp số: Thể tích khối chóp S.ABCD là 3.77.