Cho tam giác ABC có đường tròn (Ⅰ) nội tiếp và tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Gọi M, N, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng EF.
a) Chứng minh $\frac{BM}{CN}=\frac{BD}{CD}$.
b) Chứng minh HD là phân giác của ∠BHC.
c) Giả sử trên đoạn thẳng EA có điểm P và trên đoạn thẳng FA có điểm Q sao cho đường thẳng qua
P, Q tương ứng vuông góc với AB, AC là hai tiếp tuyến của (Ⅰ) và hai tiếp tuyến này cắt nhau tại
điểm K. Chứng minh đường tròn tâm K và đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Question

Accepted Answer

a) Ta có: $\angle BFM = \angle CEN = 90^\circ - \frac{\angle A}{2}$
$\Rightarrow \angle BFM = \angle CEN$
Mà $\angle BFD = \angle CED = 90^\circ$
$\Rightarrow 	riangle BFD \sim 	riangle CED$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{BF}{CE} = \frac{BD}{CD}$
Ta lại có: $\angle BFM = \angle CEN$ và $\angle BMF = \angle CNE = 90^\circ$
$\Rightarrow 	riangle BFM \sim 	riangle CEN$ (g-g)
$\Rightarrow \frac{BF}{CE} = \frac{BM}{CN}$
$\Rightarrow \frac{BM}{CN} = \frac{BD}{CD}$

b) Ta có: $\angle BDF = \angle CDE = 90^\circ$
$\Rightarrow \angle BDC = \angle FDE$
Mà $\angle BDC = \angle BHC$ (cùng bù với $\angle BHD)$
$\Rightarrow \angle BHC = \angle FDE$
$\Rightarrow \angle BHD = \angle CHD$
$\Rightarrow HD$ là phân giác của $\angle BHC$

c) Ta có: $\angle BPF = \angle BQF = 90^\circ$
$\Rightarrow$ Tứ giác BPQF nội tiếp
$\Rightarrow \angle PBQ = \angle PFQ$
Mà $\angle PFQ = \angle PDK$ (hai góc so le trong)
$\Rightarrow \angle PBQ = \angle PDK$
$\Rightarrow PQBK$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \angle PKB = \angle PQB = 90^\circ$
$\Rightarrow BK \perp AB$
Tương tự ta có: $CK \perp AC$
$\Rightarrow K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
$\Rightarrow AK$ là đường trung trực của đoạn thẳng BC
$\Rightarrow K$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC
$\Rightarrow$ Đường tròn tâm K và đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Cho tam giác ABC có đường tròn (Ⅰ) nội tiếp và tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại D, E, F. Gọi M, N, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng EF. a) Chứng min...