Giúp với aaaaaa

Câu 1. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: \[ \angle BAC = 90^\circ \] Tổng các góc trong tam giác ABC là: \[ \angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ \] \[ \angle ABC + \angle ACB + 90^\circ = 180^\circ \] \[ \angle ABC + \angle ACB = 90^\circ \] Hai tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I, ta có: \[ \angle IBC = \frac{1}{2} \angle ABC \] \[ \angle ICB = \frac{1}{2} \angle ACB \] Xét tam giác IBC, tổng các góc trong tam giác IBC là: \[ \angle IBC + \angle ICB + \angle BIC = 180^\circ \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle ACB + \angle BIC = 180^\circ \] \[ \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle ACB) + \angle BIC = 180^\circ \] \[ \frac{1}{2} \times 90^\circ + \angle BIC = 180^\circ \] \[ 45^\circ + \angle BIC = 180^\circ \] \[ \angle BIC = 180^\circ - 45^\circ \] \[ \angle BIC = 135^\circ \] Vậy góc BIC là: \[ \boxed{135^\circ} \] Câu 2. a) Ta có $\widehat{B}=60^\circ$ và $BA=BD$. Trong tam giác BAD, ta có $\widehat{BAD}=\widehat{ABD}=60^\circ$ (vì tia BI là tia phân giác của góc B). Do đó, tam giác BAD là tam giác đều (vì có ba góc bằng nhau, mỗi góc bằng 60°). b) Ta có $\widehat{BAC}=90^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A) và $\widehat{BAD}=60^\circ$ (vì tam giác BAD đều). Do đó, $\widehat{DAC}=90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Trong tam giác ABI, ta có $\widehat{ABI}=\widehat{IBA}=30^\circ$ (vì tia BI là tia phân giác của góc B). Do đó, $\widehat{AIB}=180^\circ - 2 \times 30^\circ = 120^\circ$. Trong tam giác AIC, ta có $\widehat{AIC}=180^\circ - \widehat{IAC} - \widehat{ICA} = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$. Do đó, tam giác AIC là tam giác cân tại I (vì có hai góc bằng nhau). c) Ta có $\widehat{ABC}=60^\circ$ và $\widehat{ACB}=30^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A và có $\widehat{B}=60^\circ$). Trong tam giác BDC, ta có $\widehat{DBC}=60^\circ$ (vì tam giác BAD đều) và $\widehat{BCD}=30^\circ$ (vì tam giác ABC vuông tại A và có $\widehat{B}=60^\circ$). Do đó, $\widehat{BDC}=180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Trong tam giác BDC, ta có $\widehat{BDC}=90^\circ$, do đó D là trung điểm của BC (vì trong tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh vuông góc đến cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn bằng nhau). Đáp số: a) Tam giác BAD đều. b) Tam giác AIC cân tại I. c) D là trung điểm của BC. Câu 3. a) Ta có OA = OC, OB = OD, $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta AOB=\Delta COD$ (c.c.c) $\Rightarrow BC=AD$ b) Ta có OA = OC, OB = OD, $\widehat{AOB}=\widehat{COD}$ (hai góc đối đỉnh) $\Rightarrow \Delta AOB=\Delta COD$ (c.c.c) $\Rightarrow \widehat{OAB}=\widehat{OCD},\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ Mà $\widehat{OAB}+\widehat{IAB}=\widehat{OCD}+\widehat{ICD}=180^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{IAB}=\widehat{ICD}$ Tương tự ta có $\widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ $\Rightarrow \Delta AIB=\Delta CID$ (g.c.g) $\Rightarrow \widehat{AIB}=\widehat{CID}$ Mà $\widehat{AIB}+\widehat{AID}=\widehat{CID}+\widehat{AID}=180^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{AID}=180^{\circ}-\widehat{AIB}$ $\Rightarrow \widehat{AID}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{AIBD}$ là tứ giác nội tiếp c) Ta có $\Delta AOB=\Delta COD$ (chứng minh ở phần a) $\Rightarrow \widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ Mà $\widehat{OBA}+\widehat{ABD}=\widehat{ODC}+\widehat{DCB}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{DCB}$ $\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{CDB}$ $\Rightarrow \Delta ABD$ cân tại A $\Rightarrow IA=ID$ Mà $\widehat{AID}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{IAE}=\widehat{IDE}=45^{\circ}$ Ta có $\widehat{IAE}+\widehat{AIE}=90^{\circ},\widehat{IDE}+\widehat{DIE}=90^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{AIE}=\widehat{DIE}$ Xét $\Delta AIE$ và $\Delta DIE$ có: IA = ID (chứng minh trên) $\widehat{AIE}=\widehat{DIE}$ (chứng minh trên) IE chung $\Rightarrow \Delta AIE=\Delta DIE$ (c.g.c) $\Rightarrow IE=IE$ $\Rightarrow I$ nằm trên đường phân giác của $\widehat{xOy}$ $\Rightarrow I$ cách đều hai cạnh Ox, Oy của $\widehat{xOy}$ Câu 4. a) Ta có $\angle BKC=\angle EBK+\angle BEK$ (tổng các góc trong 1 tam giác) Mà $\angle EBK=\angle CBK$ (BK là tia phân giác của $\angle ABC)$ $\Rightarrow \angle BKC=\angle CBK+\angle BEK$ Mặt khác $\angle CBK=\angle BEK+\angle CEK$ (tổng các góc trong 1 tam giác) $\Rightarrow \angle BKC=\angle BEK+\angle CEK+\angle BEK$ $\Rightarrow \angle BEK=\angle CEK$ $\Rightarrow CK=KE$ (cạnh đối với góc bằng nhau) b) Ta có $\angle BKC=\angle CBK$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \angle BKC=\angle EBM$ (đối đỉnh) $\Rightarrow \angle EBM=\angle CBK$ $\Rightarrow \angle EBM=\angle BEK$ (chứng minh trên) $\Rightarrow BM//EK$ (2 góc đồng vị bằng nhau) $\Rightarrow \angle BME=\angle MEK$ (2 góc đồng vị) Mà $\angle BME=\angle KEM$ (2 góc đối đỉnh) $\Rightarrow \angle KEM=\angle MEK$ $\Rightarrow EM$ là tia phân giác của $\angle KEE$ $\Rightarrow \angle KEM=\angle MEK=\frac{1}{2}\times 90^{\circ}=45^{\circ}$ $\Rightarrow \angle KEM=45^{\circ}$ $\Rightarrow \angle KEM>45^{\circ}$ $\Rightarrow KE>EM$ (cạnh đối với góc lớn hơn) c) Ta có $\angle KEC=\angle KME$ (2 góc đồng vị) $\Rightarrow CE//AM$ (2 góc đồng vị bằng nhau) Câu 5. Gọi giao điểm của đường thẳng song song với BC qua E và đường thẳng song song với AB qua C là G. Ta có tứ giác ADEG là hình bình hành vì có hai cặp cạnh song song. Từ đó ta có AE = DG và AG = DE. Lại có tứ giác DEGF là hình bình hành vì có hai cặp cạnh song song. Từ đó ta có DF = EG và EF = DG. Ta có $\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ (AD là phân giác) $\widehat{CAD}=\widehat{CDA}$ (cặp góc so le trong) Từ đó ta có $\widehat{BAD}=\widehat{CDA}$ Tứ giác DEGF có $\widehat{DGF}=\widehat{CDA}$ (hai góc đồng vị) Từ đó ta có $\widehat{BAD}=\widehat{DGF}$ Tứ giác DEGF có $\widehat{DGF}=\widehat{DFG}$ (hai góc đối đỉnh) Từ đó ta có $\widehat{BAD}=\widehat{DFG}$ Tứ giác ADEG có $\widehat{BAD}=\widehat{AGF}$ (hai góc đối đỉnh) Từ đó ta có $\widehat{AGF}=\widehat{DFG}$ Từ đó ta có AG = DG (cạnh đối ứng với góc bằng nhau) Từ đó ta có AG = EF (vì DG = EF) Từ đó ta có DE = EF (vì AG = DE) Từ đó ta có BF = EF (cùng bớt đi FB) Từ đó ta có BF = AE (vì EF = AE) Vậy ta đã chứng minh được AE = BF. Câu 6. a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại A nên AB = AC, $\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$ Ta có $BH\bot AC$, $CK\bot AB$ nên $\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^{\circ}$ Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AKC$ có: $\widehat{AHB}=\widehat{AKC}=90^{\circ}$ AB = AC (chứng minh trên) $\widehat{BAH}=\widehat{CAK}$ (chứng minh trên) Nên $\Delta AHB=\Delta AKC$ (cạnh kề 2 góc vuông) Suy ra AH = AK, BK = CH b) Ta có $\Delta AHB=\Delta AKC$ (chứng minh trên) nên $\widehat{ABH}=\widehat{ACK}$ Xét $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$ có: AB = AC (chứng minh trên) $\widehat{ABI}=\widehat{ACI}$ (chứng minh trên) BI = CI (chứng minh trên) Nên $\Delta ABI=\Delta ACI$ (cạnh kề 2 góc vuông) Suy ra $\widehat{KAI}=\widehat{HAI}$ c) Ta có $\Delta ABI=\Delta ACI$ (chứng minh trên) nên $\widehat{ABI}=\widehat{ACI}$ Mà $\widehat{ABI}+\widehat{ACI}=180^{\circ}-\widehat{AIC}$ Nên $2\times \widehat{ABI}=180^{\circ}-\widehat{AIC}$ Hay $\widehat{ABI}=90^{\circ}-\frac{\widehat{AIC}}{2}$ Mà $\widehat{ABI}+\widehat{IBM}=90^{\circ}$ (vì $BH\bot AC$) Nên $\widehat{IBM}=\frac{\widehat{AIC}}{2}$ Xét $\Delta IBM$ có $\widehat{IBM}=\frac{\widehat{AIC}}{2}$ nên AM là đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Vậy AI vuông góc BC tại M.