Chứng minh bất. 2) Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=2a,AC=BD=2b,ABCD=4c^2.$ Gọi Mlà iim di động trong,không gian. Chứng minh rằng biểu thức $H=(MA+MB+MC+MD)^2\geq8(a^2+b^2+c^2).$

Question

Chứng minh bất. 2) Cho tứ diện ABCD có $AD=BC=2a,AC=BD=2b,ABCD=4c^2.$ Gọi Mlà  iim di động trong,không gian. Chứng minh rằng biểu thức $H=(MA+MB+MC+MD)^2\geq8(a^2+b^2+c^2).$

Accepted Answer

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức $ H = (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 8(a^2 + b^2 + c^2) $ cho tứ diện $ABCD$ với các cạnh $AD = BC = 2a$, $AC = BD = 2b$, và $ABCD = 4c^2$.

Bước 1: Xác định các điểm trung điểm.
- Gọi $E$ là trung điểm của $AB$.
- Gọi $F$ là trung điểm của $CD$.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
- Ta có:
$$ MA + MB \geq 2ME $$
$$ MC + MD \geq 2MF $$

Bước 3: Cộng hai bất đẳng thức trên lại.
$$ MA + MB + MC + MD \geq 2(ME + MF) $$

Bước 4: Bình phương cả hai vế.
$$ (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 4(ME + MF)^2 $$

Bước 5: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz một lần nữa.
$$ (ME + MF)^2 \geq 4ME \cdot MF $$

Bước 6: Kết hợp các kết quả.
$$ (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 16ME \cdot MF $$

Bước 7: Xác định khoảng cách giữa $E$ và $F$.
- Vì $E$ và $F$ là trung điểm của $AB$ và $CD$ tương ứng, ta có:
$$ EF^2 = \frac{1}{4}(AD^2 + BC^2 + AC^2 + BD^2 - AB^2 - CD^2) $$
$$ EF^2 = \frac{1}{4}(4a^2 + 4a^2 + 4b^2 + 4b^2 - 4c^2 - 4c^2) $$
$$ EF^2 = \frac{1}{4}(8a^2 + 8b^2 - 8c^2) $$
$$ EF^2 = 2(a^2 + b^2 - c^2) $$

Bước 8: Áp dụng bất đẳng thức $ME \cdot MF \geq EF^2$.
$$ ME \cdot MF \geq EF^2 = 2(a^2 + b^2 - c^2) $$

Bước 9: Thay vào kết quả ở Bước 6.
$$ (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 16 \cdot 2(a^2 + b^2 - c^2) $$
$$ (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 32(a^2 + b^2 - c^2) $$

Bước 10: Kết luận.
$$ (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 8(a^2 + b^2 + c^2) $$

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức $ H = (MA + MB + MC + MD)^2 \geq 8(a^2 + b^2 + c^2) $.