Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq1.$,Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=(\frac1x+\frac1y).\sqrt{1+x^2y^2}$

Question

Tài khoản ẩn danh · Accepted Answer

Có x, y là các số thực dương $$\Rightarrow\frac{1}{x},\frac{1}{y}$$ là các số thực dương

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[]{\frac{1}{x}} imes\frac{1}{y}=\frac{2}{\sqrt{xy}}$$

Vậy $$P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}} imes\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}$$

Ta có: $$1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}$$ (do x,y là hai số thực dương) $$\Rightarrow xy\le\frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{xy}+xy=\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16} imes\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{1}{16xy}} imes xy+\frac{15}{16}\frac{1}{\frac{1}{4}}=2 imes\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}$$

$$\Rightarrow P\ge2\sqrt{\frac{17}{4}}=\sqrt{17}$$. Dấu "=" xảy ra $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{ \begin{array}{l} x = y \ x + y = 1 \ xy = \dfrac{1}{4} \end{array} ight.$$ $$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $$\sqrt{17}$$ đạt được khi $$x=y=\frac{1}{2}$$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \cdot \sqrt{1 + x^2 y^2} $ với $ x, y $ là các số thực dương thỏa mãn $ x + y \leq 1 $, chúng ta sẽ tiến hành như sau:

1. Đặt biến và điều kiện:
   - Gọi $ x $ và $ y $ là các số thực dương thỏa mãn $ x + y \leq 1 $.

2. Biến đổi biểu thức:
   - Ta có $ P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \cdot \sqrt{1 + x^2 y^2} $.

3. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
   - Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các cặp số $ \left( \frac{1}{x}, \frac{1}{y} \right) $ và $ (x, y) $:
     $$
     \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)(x + y) \geq (1 + 1)^2 = 4.
     $$
   - Vì $ x + y \leq 1 $, nên:
     $$
     \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \cdot 1 \geq 4 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 4.
     $$

4. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $:
   - Ta có $ P = \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \cdot \sqrt{1 + x^2 y^2} $.
   - Vì $ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq 4 $, nên:
     $$
     P \geq 4 \cdot \sqrt{1 + x^2 y^2}.
     $$
   - Để $ P $ đạt giá trị nhỏ nhất, $ \sqrt{1 + x^2 y^2} $ phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi $ x^2 y^2 $ nhỏ nhất, tức là $ xy $ nhỏ nhất.

5. Kiểm tra trường hợp $ x = y $:
   - Giả sử $ x = y $, thì $ 2x \leq 1 \implies x \leq \frac{1}{2} $.
   - Khi $ x = y = \frac{1}{2} $:
     $$
     P = \left( \frac{1}{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\frac{1}{2}} \right) \cdot \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{2} \right)^2 } = (2 + 2) \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{16}} = 4 \cdot \sqrt{\frac{17}{16}} = 4 \cdot \frac{\sqrt{17}}{4} = \sqrt{17}.
     $$

6. Kết luận:
   - Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \sqrt{17} $, đạt được khi $ x = y = \frac{1}{2} $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \sqrt{17} $, đạt được khi $ x = y = \frac{1}{2} $.