Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) đường cao AH, lấy D trên cạnh AC sao cho AC = 3AD, trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho HE = 1/3HA. Lấy M trong đoạn AH sao cho MH = HE, đường thẳng qua M s...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một cách chi tiết. a) Chứng minh I là trung điểm của EN 1. Xét tam giác AHC: - Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao. - Gọi H là chân đường cao từ A xuống BC. 2. Xét điểm E: - Trên tia đối của tia HA, lấy điểm E sao cho HE = $\frac{1}{3}$ HA. 3. Xét điểm M: - Lấy M trên đoạn AH sao cho MH = HE. Do đó, MH = $\frac{1}{3}$ HA. 4. Xét điểm N: - Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại N. 5. Chứng minh I là trung điểm của EN: - Vì M nằm trên AH và MH = HE, nên M là trung điểm của đoạn HE. - Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC tại N, do đó MN song song với BC. - Xét tam giác HEC, vì MN song song với BC, theo định lý Ta-lét, ta có: - $\frac{EN}{NC} = \frac{EM}{MH} = 1$ (vì EM = MH) - Do đó, EN = NC, suy ra I là trung điểm của EN. b) Chứng minh MI // AC và IN = NC 1. Chứng minh MI // AC: - Vì MN song song với BC và M nằm trên AH, nên MI song song với AC. 2. Chứng minh IN = NC: - Từ phần a, ta đã có EN = NC. - Do đó, IN = NC. c) Chứng minh góc BED = 90 độ 1. Xét tam giác AHC: - AH là đường cao, nên góc AHC = 90 độ. 2. Xét điểm D: - Trên cạnh AC, lấy D sao cho AC = 3AD, tức là D chia AC theo tỉ lệ 1:3. 3. Xét tam giác BEC: - Vì E nằm trên tia đối của HA và HE = $\frac{1}{3}$ HA, nên E là điểm đối xứng của H qua M. - Do đó, tam giác BEC là tam giác vuông tại E, vì BE là đường cao từ B xuống EC. 4. Chứng minh góc BED = 90 độ: - Vì tam giác BEC vuông tại E, nên góc BED = 90 độ. Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.