Cho tam giác ABC nhọn có AB

Question

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Từ I kẻ các đường vuông góc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên một đường tròn. Sau đó, tìm tâm và bán kính đường tròn đi qua ba điểm này theo ba cạnh của tam giác.

Mai Quỳnh Anh · Accepted Answer

1. Chứng minh D, E, F cùng thuộc một đường tròn:

- Bước 1: Xác định tính chất của I (tâm đường tròn nội tiếp):

- I là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC.

- ID, IE, IF lần lượt vuông góc với BC, CA, AB ⇒ D, E, F là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh.

- Bước 2: Áp dụng tính chất tiếp tuyến:

- Các đoạn tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn bằng nhau:

$$ID = IE = IF \quad (\text{bán kính đường tròn nội tiếp}).$$

- Suy ra D, E, F cùng nằm trên đường tròn tâm I, bán kính ID.

2. Tìm tâm và bán kính đường tròn đi qua D, E, F:

- Tâm đường tròn: Chính là I (tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

- Bán kính đường tròn: Bằng bán kính đường tròn nội tiếp (r) của tam giác ABC:

$$r = \frac{S}{p},$$

trong đó:

- $S$ là diện tích tam giác ABC.

- $p = \frac{a + b + c}{2}$ là nửa chu vi (a, b, c là độ dài các cạnh BC, CA, AB).

3. Kết luận:

- D, E, F cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính r** (đường tròn nội tiếp tam giác ABC).

- Công thức bán kính: $r = \frac{S}{p}$.

Kết quả:

- Tâm đường tròn: I (tâm đường tròn nội tiếp).

- Bán kính: $r = \frac{S}{p}$.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác DEFI là tứ giác nội tiếp. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh rằng tổng hai góc đối diện của tứ giác DEFI bằng $180^\circ$.

Bước 1: Chứng minh tứ giác DEFI nội tiếp

1. Góc $\angle EDF$: Vì D, E, F lần lượt là chân các đường vuông góc từ I đến các cạnh BC, CA, AB, nên $\angle EDF = 90^\circ$.

2. Góc $\angle EIF$: Tương tự, $\angle EIF = 90^\circ$.

3. Tổng hai góc đối diện: $\angle EDF + \angle EIF = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Vì tổng hai góc đối diện của tứ giác DEFI bằng $180^\circ$, nên tứ giác DEFI là tứ giác nội tiếp. Do đó, ba điểm D, E, F nằm trên một đường tròn.

Bước 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn đi qua D, E, F

1. Tâm đường tròn: Đường tròn đi qua ba điểm D, E, F có tâm là điểm I, vì I là giao điểm của các đường vuông góc từ I đến các cạnh của tam giác, và các góc tại D, E, F đều là góc vuông.

2. Bán kính đường tròn: Bán kính của đường tròn này chính là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ký hiệu là $r$.

Kết luận

Ba điểm D, E, F nằm trên một đường tròn có tâm là I và bán kính là $r$, trong đó $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Từ I kẻ các đường vuông góc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Chứng minh rằng ba điểm D, E, F nằm trên một đường...