Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P. Gọi Q là điểm sao cho tứ giác AHQP là hình chữ nhật. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC luôn đi qua điểm cố định khi tam giác ABC thay đổi mà vẫn giữ nguyên ba cạnh.

Question

Mai Quỳnh Anh · Accepted Answer

1. Xác định điểm cố định:

- Giả thiết:

- Tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O), H là trực tâm, M là trung điểm BC.

- AM cắt (O) tại P.

- Q là điểm sao cho AHQP là hình chữ nhật.

- Mục tiêu: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC luôn đi qua điểm cố định khi ABC thay đổi (giữ nguyên 3 cạnh).

2. Chứng minh:

- Bước 1: Chứng minh Q đối xứng với H qua M.

- Do AHQP là hình chữ nhật ⇒ QP = AH và QP // AH.

- M là trung điểm BC ⇒ P đối xứng với H qua M (tính chất đường tròn Euler).

- Suy ra Q ≡ P (vì QP = AH và P đã đối xứng với H qua M).

- Bước 2: Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC đi qua O.

- Vì Q ≡ P và P ∈ (O) ⇒ Q ∈ (O).

- Tam giác BQC có:

- B, C ∈ (O) (theo giả thiết).

- Q ∈ (O) ⇒ (BQC) ≡ (O).

- Vậy (BQC) luôn đi qua O (điểm cố định).

3. Kết luận:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác BQC luôn đi qua tâm O của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bất kể vị trí của ABC (miễn giữ nguyên độ dài 3 cạnh).

Timi · Answer

Để chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BQC $ luôn đi qua một điểm cố định khi tam giác $ ABC $ thay đổi mà vẫn giữ nguyên ba cạnh, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định các điểm và tính chất:
   - Tam giác $ ABC $ nhọn và nội tiếp đường tròn tâm $ O $.
   - $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC $, do đó $ AH \perp BC $, $ BH \perp AC $, và $ CH \perp AB $.
   - $ M $ là trung điểm của $ BC $, do đó $ AM $ là đường trung tuyến.
   - Đường thẳng $ AM $ cắt đường tròn tại điểm thứ hai là $ P $.
   - Tứ giác $ AHQP $ là hình chữ nhật, do đó $ AH = PQ $ và $ AQ = HP $.

2. Xác định điểm cố định:
   - Do $ AHQP $ là hình chữ nhật, $ Q $ là điểm đối xứng của $ H $ qua $ P $.
   - Vì $ P $ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $, nên $ AP $ là một dây cung cố định khi tam giác $ ABC $ thay đổi mà vẫn giữ nguyên ba cạnh.
   - $ Q $ là điểm đối xứng của $ H $ qua $ P $, nên $ Q $ cũng nằm trên một đường tròn cố định khi $ P $ thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $.

3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BQC $ đi qua điểm cố định:
   - Xét đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BQC $. Ta cần chứng minh rằng có một điểm cố định mà đường tròn này luôn đi qua.
   - Do $ Q $ là điểm đối xứng của $ H $ qua $ P $, và $ P $ thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $, nên $ Q $ cũng thay đổi theo một quy luật nhất định.
   - Tuy nhiên, do $ H $ là trực tâm của tam giác $ ABC $, và $ M $ là trung điểm của $ BC $, nên $ H $ và $ M $ có một mối quan hệ đặc biệt với các điểm $ B $ và $ C $.
   - Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BQC $ sẽ luôn đi qua điểm $ H $ vì $ H $ là trực tâm và có tính chất đối xứng với các điểm $ B $ và $ C $ qua các đường cao.

4. Kết luận:
   - Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BQC $ luôn đi qua điểm cố định là trực tâm $ H $ của tam giác $ ABC $ khi tam giác $ ABC $ thay đổi mà vẫn giữ nguyên ba cạnh.

Vậy, điểm cố định mà đường tròn ngoại tiếp tam giác $ BQC $ luôn đi qua chính là trực tâm $ H $ của tam giác $ ABC $.

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm, M là trung điểm BC. Đường thẳng AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai là P. Gọi Q là điểm sao cho tứ giác AHQP là hình chữ nhật. Chứng...