Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, cạnh AB = a, AD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC. Biết rằng SA = SB = SC = SD và góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳn...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Tính diện tích tam giác \(SBM\) theo \(a\). 1. Xác định các điểm và độ dài cạnh: - Đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật với \(AB = a\) và \(AD = 2a\). - \(O\) là tâm của hình chữ nhật, do đó \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\). - \(SA = SB = SC = SD\), điều này cho thấy \(S\) là đỉnh của một hình chóp đều. 2. Tính tọa độ các điểm: - Giả sử \(A(0, 0, 0)\), \(B(a, 0, 0)\), \(D(0, 2a, 0)\), \(C(a, 2a, 0)\). - Tâm \(O\) có tọa độ \((\frac{a}{2}, a, 0)\). - Vì \(SA = SB = SC = SD\), giả sử \(S\) có tọa độ \((\frac{a}{2}, a, h)\). 3. Tính độ dài \(SB\): \[ SB = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - a\right)^2 + (a - 0)^2 + h^2} = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + a^2 + h^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2 + h^2} \] 4. Tính tọa độ điểm \(M\): - \(M\) là trung điểm của \(SA\), do đó \(M\left(\frac{0 + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + h}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a}{2}, \frac{h}{2}\right)\). 5. Tính diện tích tam giác \(SBM\): - Sử dụng công thức diện tích tam giác với tọa độ: \[ \text{Diện tích} = \frac{1}{2} \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \times \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2 + (z_3 - z_1)^2} \times \sin \theta \] - Với \(\theta\) là góc giữa hai vector \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{SM}\). b. Tính sin của góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\). 1. Xác định vector chỉ phương của \(MN\): - \(N\) là trung điểm của \(BC\), do đó \(N\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + 2a}{2}, 0\right) = (a, a, 0)\). - Vector \(\overrightarrow{MN} = (a - \frac{a}{4}, a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{h}{2}) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a}{2}, -\frac{h}{2}\right)\). 2. Xác định mặt phẳng \((SBD)\): - Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\) có thể được xác định bằng tích có hướng của hai vector \(\overrightarrow{SB}\) và \(\overrightarrow{BD}\). 3. Tính sin của góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\): - Sử dụng công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MN}| \cdot |\overrightarrow{n}|} \] - Trong đó \(\overrightarrow{n}\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\). Với các bước trên, chúng ta có thể tính toán cụ thể để tìm ra diện tích tam giác \(SBM\) và sin của góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \((SBD)\).