Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + z - 4 = 0 và điểm M(3; -1; 2).
a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P).
b) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
c) Tính độ dài đoạn MH và xác định phương trình mặt cầu tâm M, bán kính bằng MH.
d) Mặt phẳng (Q) qua H và song song với mặt phẳng (xOy). Viết phương trình (Q) và tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).

Question

Gia Bao · Accepted Answer

{"userId":5419887,"userName":"Lan huongg"}

Ta giải từng phần của bài toán:

*a) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(3; -1; 2)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x - y + z - 4 = 0$**

* **Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)** là:

$\vec{n}_P = (2, -1, 1)$

* Đường thẳng $d$ **vuông góc với mặt phẳng (P)** nên có **vectơ chỉ phương** là $\vec{u}_d = \vec{n}_P = (2, -1, 1)$

* Đường thẳng đi qua điểm $M(3; -1; 2)$, có vectơ chỉ phương $(2, -1, 1)$ nên có **phương trình tham số**:

$\begin{cases}

x = 3 + 2t \

y = -1 - t \

z = 2 + t

\end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

---

**b) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P)**

* Gọi $H(x; y; z)$ là hình chiếu vuông góc của M lên (P). Vì $MH$ vuông góc với mặt phẳng (P), nên $\vec{MH}$ cùng phương với $\vec{n}_P = (2, -1, 1)$

* Gọi $\vec{MH} = k \cdot \vec{n}_P = (2k, -k, k) \Rightarrow H = M + \vec{MH} = (3 + 2k, -1 - k, 2 + k)$

* Vì $H \in (P)$, ta thay tọa độ $H$ vào phương trình mặt phẳng:

$2(3 + 2k) - (-1 - k) + (2 + k) - 4 = 0$

Giải:

$2(3 + 2k) + 1 + k + 2 + k - 4 = 0 \

6 + 4k + 1 + k + 2 + k - 4 = 0 \

(6 + 1 + 2 - 4) + (4k + k + k) = 0 \

5 + 6k = 0 \Rightarrow k = -\dfrac{5}{6}$

Vậy:

$H = \left(3 + 2 \cdot \left(-\dfrac{5}{6} ight), -1 - \left(-\dfrac{5}{6} ight), 2 + \left(-\dfrac{5}{6} ight) ight) = \left( \dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{6}, \dfrac{7}{6} ight)$

---

*c) Tính độ dài đoạn MH và phương trình mặt cầu tâm M, bán kính bằng MH**

* Tọa độ $M = (3, -1, 2)$, $H = \left( \dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{6}, \dfrac{7}{6} ight)$

$\vec{MH} = H - M = \left( \dfrac{4}{3} - 3, -\dfrac{1}{6} + 1, \dfrac{7}{6} - 2 ight) = \left( -\dfrac{5}{3}, \dfrac{5}{6}, -\dfrac{5}{6} ight)$

* Độ dài $MH = \left| \vec{MH} ight| = \sqrt{ \left( -\dfrac{5}{3} ight)^2 + \left( \dfrac{5}{6} ight)^2 + \left( -\dfrac{5}{6} ight)^2 }$

$MH = \sqrt{ \dfrac{25}{9} + \dfrac{25}{36} + \dfrac{25}{36} } = \sqrt{ \dfrac{100}{36} + \dfrac{25}{9} } = \sqrt{ \dfrac{100}{36} + \dfrac{100}{36} } = \sqrt{ \dfrac{200}{36} } = \sqrt{ \dfrac{50}{9} } = \dfrac{\sqrt{50}}{3} = \dfrac{5\sqrt{2}}{3}$

* **Phương trình mặt cầu** tâm $M(3, -1, 2)$, bán kính $R = \dfrac{5\sqrt{2}}{3}$:

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = \left( \dfrac{5\sqrt{2}}{3} ight)^2 = \dfrac{50}{9}$

--

**Tóm tắt kết quả:**

* a) $\begin{cases} x = 3 + 2t \ y = -1 - t \ z = 2 + t \end{cases}$

* b) $H\left( \dfrac{4}{3}, -\dfrac{1}{6}, \dfrac{7}{6} ight)$

* c) $MH = \dfrac{5\sqrt{2}}{3}$, phương trình mặt cầu:

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = \dfrac{50}{9}$

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a) Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $2x - y + z - 4 = 0$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ là $\vec{n} = (2, -1, 1)$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3, -1, 2)$ và có vector chỉ phương $\vec{n} = (2, -1, 1)$ (vì $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$).

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là:
$$
\begin{cases}
x = 3 + 2t \
y = -1 - t \
z = 2 + t
\end{cases}
$$
với $t \in \mathbb{R}$.

b) Xác định tọa độ điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(P)$.

Điểm $H$ là hình chiếu vuông góc của $M$ lên mặt phẳng $(P)$, nên $H$ nằm trên đường thẳng $d$ và trên mặt phẳng $(P)$.

Giả sử $H$ có tọa độ $(3 + 2t, -1 - t, 2 + t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$$
2(3 + 2t) - (-1 - t) + (2 + t) - 4 = 0
$$
$$
6 + 4t + 1 + t + 2 + t - 4 = 0
$$
$$
5 + 6t = 0 \Rightarrow t = -\frac{5}{6}
$$

Với $t = -\frac{5}{6}$, tọa độ điểm $H$ là:
$$
\begin{cases}
x = 3 + 2\left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{8}{3} \
y = -1 - \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{1}{6} \
z = 2 + \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{7}{6}
\end{cases}
$$
Vậy $H\left(\frac{8}{3}, -\frac{1}{6}, \frac{7}{6}\right)$.

c) Tính độ dài đoạn $MH$ và xác định phương trình mặt cầu tâm $M$, bán kính bằng $MH$.

Độ dài đoạn $MH$ được tính bằng công thức:
$$
MH = \sqrt{\left(\frac{8}{3} - 3\right)^2 + \left(-\frac{1}{6} + 1\right)^2 + \left(\frac{7}{6} - 2\right)^2}
$$
$$
= \sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{6}\right)^2 + \left(-\frac{5}{6}\right)^2}
$$
$$
= \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{25}{36} + \frac{25}{36}}
$$
$$
= \sqrt{\frac{4}{36} + \frac{25}{36} + \frac{25}{36}}
$$
$$
= \sqrt{\frac{54}{36}} = \sqrt{\frac{3}{2}}
$$

Phương trình mặt cầu tâm $M(3, -1, 2)$, bán kính $r = \sqrt{\frac{3}{2}}$ là:
$$
(x - 3)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = \frac{3}{2}
$$

d) Mặt phẳng $(Q)$ qua $H$ và song song với mặt phẳng $(xOy)$. Viết phương trình $(Q)$ và tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.

Mặt phẳng $(Q)$ song song với mặt phẳng $(xOy)$ nên có dạng $z = c$. Vì $(Q)$ đi qua $H\left(\frac{8}{3}, -\frac{1}{6}, \frac{7}{6}\right)$, nên $c = \frac{7}{6}$.

Phương trình mặt phẳng $(Q)$ là: $z = \frac{7}{6}$.

Giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ là đường thẳng nằm trong cả hai mặt phẳng. Thay $z = \frac{7}{6}$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$:
$$
2x - y + \frac{7}{6} - 4 = 0
$$
$$
2x - y = \frac{17}{6}
$$

Phương trình tham số của giao tuyến là:
$$
\begin{cases}
x = \frac{17}{12} + t \
y = 2\left(\frac{17}{12} + t\right) - \frac{17}{6} \
z = \frac{7}{6}
\end{cases}
$$
với $t \in \mathbb{R}$.

Vậy, chúng ta đã hoàn thành tất cả các phần của bài toán.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - y + z - 4 = 0 và điểm M(3; -1; 2). a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Xác định tọa độ điểm H là hình chiếu vuô...