Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, SA vuông góc mặt đáy và SA = a. a) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác cân và tính góc giữa SB và SC. b) Tính khoảng cách từ đi...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng tam giác SBC là tam giác cân và tính góc giữa SB và SC. - Chứng minh tam giác SBC cân: Tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A, do đó \( AB = AC = a \) và \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \). Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC), nên SA vuông góc với cả AB và AC. Do đó, tam giác SAB và tam giác SAC đều là tam giác vuông tại A. Xét tam giác SAB và tam giác SAC: - \( SA = a \), \( AB = AC = a \). Do đó, \( SB = SC = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \). Vậy tam giác SBC là tam giác cân tại S vì \( SB = SC \). - Tính góc giữa SB và SC: Trong tam giác cân SBC, góc giữa SB và SC là góc \(\angle BSC\). Sử dụng định lý cosin trong tam giác SBC: \[ BC^2 = SB^2 + SC^2 - 2 \cdot SB \cdot SC \cdot \cos(\angle BSC) \] \[ (a\sqrt{2})^2 = (a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2}) \cdot \cos(\angle BSC) \] \[ 2a^2 = 2a^2 + 2a^2 - 2 \cdot 2a^2 \cdot \cos(\angle BSC) \] \[ 2a^2 = 4a^2 - 4a^2 \cdot \cos(\angle BSC) \] \[ 2a^2 \cdot \cos(\angle BSC) = 2a^2 \] \[ \cos(\angle BSC) = \frac{1}{2} \] Vậy góc \(\angle BSC = 60^\circ\). b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC). - Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), ta cần tìm độ dài đường vuông góc từ A đến mặt phẳng (SBC). Do SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), và tam giác SBC nằm trong mặt phẳng (SBC), nên SA cũng vuông góc với mặt phẳng (SBC). Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) chính là độ dài đoạn SA, tức là \( a \). c) Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng SA. - Tọa độ của M là trung điểm của BC, do đó: \[ M\left(\frac{B_x + C_x}{2}, \frac{B_y + C_y}{2}, \frac{B_z + C_z}{2}\right) \] Với \( B = (a, 0, 0) \) và \( C = (0, a, 0) \), ta có: \[ M\left(\frac{a + 0}{2}, \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) \] - Đường thẳng SA có phương trình dạng \( x = 0, y = 0, z = t \) với \( t \in [0, a] \). - Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng SA là khoảng cách từ M đến điểm gần nhất trên SA, tức là hình chiếu vuông góc của M lên SA. Do SA nằm trên trục z, nên hình chiếu của M lên SA là điểm \( (0, 0, 0) \). Khoảng cách từ M đến điểm \( (0, 0, 0) \) là: \[ \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} \] d) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy (ABC), sau đó tìm cosin góc đó theo a. - Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC). - Hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC) là đoạn thẳng BC, vì SC vuông góc với SA và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). - Sử dụng định lý cosin trong tam giác SAC: \[ \cos(\angle SCA) = \frac{AC}{SC} = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là \( 45^\circ \), và \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Tóm lại: - Tam giác SBC là tam giác cân tại S, góc \(\angle BSC = 60^\circ\). - Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) là \( a \). - Khoảng cách từ M đến đường thẳng SA là \( \frac{a}{\sqrt{2}} \). - Góc giữa SC và mặt phẳng (ABC) là \( 45^\circ \), với \(\cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).