Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA = a. a) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ABD). b) Gọi H là trung điểm của đoạn SB. Tính độ dài đoạn thẳng từ H đến mặ...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (ABD). Để chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABD), ta cần chứng minh SC vuông góc với hai đường thẳng không song song nằm trong mặt phẳng (ABD). - Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) (do SA vuông góc với đáy là hình vuông ABCD). - Trong mặt phẳng (ABCD), SC là đường chéo của hình vuông ABCD, do đó SC vuông góc với AB (vì đường chéo của hình vuông vuông góc với cạnh). - Do đó, SC vuông góc với cả SA và AB, suy ra SC vuông góc với mặt phẳng (ABD). b) Gọi H là trung điểm của đoạn SB. Tính độ dài đoạn thẳng từ H đến mặt phẳng (ACD). - Gọi \( H \) là trung điểm của \( SB \), ta có \( SH = \frac{a}{2} \). - Trong tam giác vuông \( SAB \), ta có \( SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2} \). - Tọa độ của \( H \) là \( \left(0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \). Để tính khoảng cách từ \( H \) đến mặt phẳng (ACD), ta cần tìm phương trình mặt phẳng (ACD). - Tọa độ của \( A(0, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(a, 0, 0) \). - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (ACD) là \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = (a, a, 0) \times (a, 0, 0) = (0, 0, -a^2) \). - Phương trình mặt phẳng (ACD) là \( z = 0 \). Khoảng cách từ \( H \) đến mặt phẳng (ACD) là độ dài đoạn thẳng vuông góc từ \( H \) đến mặt phẳng, tức là độ dài đoạn \( z \) của \( H \), do mặt phẳng (ACD) có phương trình \( z = 0 \). - Vậy khoảng cách từ \( H \) đến mặt phẳng (ACD) là \( \frac{a}{2} \). c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB. - Thể tích khối chóp \( S.ABCD \) được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao} \] Diện tích đáy \( ABCD \) là \( a^2 \), chiều cao \( SA = a \). \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a = \frac{a^3}{3} \] - Khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AC \) và \( SB \) là khoảng cách giữa hai đường chéo của hình vuông và đường chéo của tam giác vuông. Do \( AC \) và \( SB \) không cắt nhau và không song song, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai đường chéo trong không gian: \[ d = \frac{| \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} |}{|\overrightarrow{n}|} \] với \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC} \). - Tính \( \overrightarrow{SB} = (0, a, a) \), \( \overrightarrow{AC} = (a, a, 0) \). - \( \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{AC} = (0, a, a) \times (a, a, 0) = (-a^2, a^2, -a^2) \). - \( |\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-a^2)^2 + (a^2)^2 + (-a^2)^2} = a^2\sqrt{3} \). - Khoảng cách \( d = \frac{| \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{n} |}{|\overrightarrow{n}|} = \frac{|a^2|}{a^2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}a \). d) Xác định góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD), biểu diễn bằng công thức lượng giác theo a. - Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là góc giữa hai vector pháp tuyến của chúng. - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (SAC) là \( \overrightarrow{n_1} = \overrightarrow{SA} \times \overrightarrow{AC} = (0, 0, a) \times (a, a, 0) = (-a^2, 0, 0) \). - Vector pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) là \( \overrightarrow{n_2} = \overrightarrow{SB} \times \overrightarrow{BD} = (0, a, a) \times (0, a, 0) = (-a^2, 0, 0) \). - Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai vector pháp tuyến: \[ \cos \theta = \frac{\overrightarrow{n_1} \cdot \overrightarrow{n_2}}{|\overrightarrow{n_1}| \cdot |\overrightarrow{n_2}|} \] \[ \cos \theta = \frac{(-a^2) \cdot (-a^2)}{a^2 \cdot a^2} = 1 \] - Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là \( 0^\circ \). Trên đây là lời giải chi tiết cho từng phần của bài toán.