Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3), mặt phẳng (P): x + y + z = 6 và đường thẳng d: x = 2 + t; y = 1 - t; z = 3t. a) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P). b) Viết phương trình đường thẳng d...

Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần như sau: a) Tìm tọa độ giao điểm của d và mặt phẳng (P). Đường thẳng \( d \) có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - t \\ z = 3t \end{cases} \] Mặt phẳng \( (P) \) có phương trình: \( x + y + z = 6 \). Để tìm giao điểm của \( d \) và \( (P) \), ta thay các phương trình tham số của \( d \) vào phương trình của mặt phẳng \( (P) \): \[ (2 + t) + (1 - t) + 3t = 6 \] Giải phương trình: \[ 2 + 1 + 3t = 6 \\ 3 + 3t = 6 \\ 3t = 3 \\ t = 1 \] Thay \( t = 1 \) vào phương trình tham số của \( d \): \[ \begin{cases} x = 2 + 1 = 3 \\ y = 1 - 1 = 0 \\ z = 3 \times 1 = 3 \end{cases} \] Vậy, tọa độ giao điểm của \( d \) và mặt phẳng \( (P) \) là \( (3, 0, 3) \). b) Viết phương trình đường thẳng \( d_1 \) đi qua \( A \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P) \). Đường thẳng \( d_1 \) đi qua điểm \( A(1, 2, 3) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (P) \). Do đó, vector chỉ phương của \( d_1 \) chính là vector pháp tuyến của mặt phẳng \( (P) \), tức là \( \vec{n} = (1, 1, 1) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( d_1 \) là: \[ \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 + t \end{cases} \] c) Tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \). Công thức tính khoảng cách từ điểm \( A(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \) là: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Với mặt phẳng \( (P): x + y + z - 6 = 0 \), ta có \( a = 1, b = 1, c = 1, d = -6 \). Khoảng cách từ \( A(1, 2, 3) \) đến \( (P) \) là: \[ d = \frac{|1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 3 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 2 + 3 - 6|}{\sqrt{3}} = \frac{0}{\sqrt{3}} = 0 \] Vậy, khoảng cách từ \( A \) đến mặt phẳng \( (P) \) là 0. d) Gọi \( H \) là hình chiếu của \( A \) lên \( d \). Tính tọa độ điểm \( H \) và khoảng cách từ \( A \) đến \( d \). Để tìm hình chiếu \( H \) của \( A \) lên \( d \), ta cần tìm giá trị \( t \) sao cho vector \( \overrightarrow{AH} \) vuông góc với vector chỉ phương của \( d \), tức là \( \overrightarrow{AH} \cdot \vec{u} = 0 \). Vector chỉ phương của \( d \) là \( \vec{u} = (1, -1, 3) \). Giả sử \( H \) có tọa độ \( (2 + t, 1 - t, 3t) \), thì: \[ \overrightarrow{AH} = (2 + t - 1, 1 - t - 2, 3t - 3) = (1 + t, -1 - t, 3t - 3) \] Điều kiện vuông góc: \[ (1 + t) \cdot 1 + (-1 - t) \cdot (-1) + (3t - 3) \cdot 3 = 0 \] Giải phương trình: \[ 1 + t + 1 + t + 9t - 9 = 0 \\ 11t - 7 = 0 \\ 11t = 7 \\ t = \frac{7}{11} \] Thay \( t = \frac{7}{11} \) vào phương trình tham số của \( d \): \[ \begin{cases} x = 2 + \frac{7}{11} = \frac{29}{11} \\ y = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11} \\ z = 3 \times \frac{7}{11} = \frac{21}{11} \end{cases} \] Vậy, tọa độ điểm \( H \) là \( \left(\frac{29}{11}, \frac{4}{11}, \frac{21}{11}\right) \). Khoảng cách từ \( A \) đến \( d \) là độ dài đoạn \( AH \): \[ AH = \sqrt{\left(\frac{29}{11} - 1\right)^2 + \left(\frac{4}{11} - 2\right)^2 + \left(\frac{21}{11} - 3\right)^2} \] Tính toán: \[ AH = \sqrt{\left(\frac{18}{11}\right)^2 + \left(-\frac{18}{11}\right)^2 + \left(-\frac{12}{11}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{324}{121} + \frac{324}{121} + \frac{144}{121}} \] \[ = \sqrt{\frac{792}{121}} \] \[ = \frac{\sqrt{792}}{11} \] Vậy, khoảng cách từ \( A \) đến \( d \) là \( \frac{\sqrt{792}}{11} \).