Giup mik voi

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh $BD \bot (SAC)$ 1. Xác định mặt phẳng $(SAC)$: - Vì $SA \bot (ABCD)$ và $AC \subset (ABCD)$, nên $SA \bot AC$. - Do đó, $(SAC)$ là mặt phẳng chứa $SA$ và $AC$. 2. Chứng minh $BD \bot (SAC)$: - Ta cần chứng minh $BD \bot SA$ và $BD \bot AC$. - Vì $ABCD$ là hình thoi, $AC$ và $BD$ là hai đường chéo và vuông góc với nhau, nên $BD \bot AC$. - Do $SA \bot (ABCD)$, nên $SA \bot BD$. - Vậy $BD \bot (SAC)$. b) Chứng minh góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ nhỏ hơn $30^\circ$ 1. Xác định góc giữa $SD$ và $(ABCD)$: - Góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SD$ và hình chiếu của nó trên $(ABCD)$. - Hình chiếu của $SD$ trên $(ABCD)$ là $D$ (vì $D$ nằm trên $(ABCD)$). 2. Tính góc giữa $SD$ và $(ABCD)$: - Ta có $SA = \frac{a}{2}$ và $AD = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (vì $AD$ là đường chéo của hình thoi). - Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $SAD$, ta có $SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2} = a$. - Góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là góc $\angle SAD$, với $\tan \angle SAD = \frac{SA}{AD} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. - Do đó, $\angle SAD = 30^\circ$. c) Chứng minh $(SAB) \bot (SBC)$ 1. Xác định mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$: - $(SAB)$ chứa $SA$ và $AB$. - $(SBC)$ chứa $SB$ và $BC$. 2. Chứng minh $(SAB) \bot (SBC)$: - Ta cần chứng minh $AB \bot BC$. - Vì $ABCD$ là hình thoi, $AB \parallel CD$ và $BC \parallel AD$, nên $AB \bot BC$. - Do đó, $(SAB) \bot (SBC)$. d) Tính số đo của góc nhị diện $[S,CD,A]$ 1. Xác định góc nhị diện $[S,CD,A]$: - Góc nhị diện $[S,CD,A]$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ACD)$. 2. Tính góc nhị diện: - Ta có $SA \bot (ABCD)$, nên $SA \bot CD$. - Do đó, góc nhị diện $[S,CD,A]$ là góc giữa $SA$ và $CD$. - Vì $SA = \frac{a}{2}$ và $CD = a$, góc giữa $SA$ và $CD$ là $30^\circ$. Vậy, số đo của góc nhị diện $[S,CD,A]$ bằng $30^\circ$. Câu 2: a) Đúng vì vận tốc tức thời tại thời điểm t = 2 s là đạo hàm của quãng đường S(t) tại t = 2 s, tức là v(2) = S'(2). b) Sai vì vận tốc tức thời tại thời điểm t là đạo hàm của quãng đường S(t) tại t, tức là v(t) = S'(t) = 3t² - 6t + 9. c) Đúng vì vận tốc tức thời tại thời điểm t = 3 s là v(3) = 3(3)² - 6(3) + 9 = 27 - 18 + 9 = 18 m/s. d) Sai vì gia tốc tức thời tại thời điểm t là đạo hàm của vận tốc v(t) tại t, tức là a(t) = v'(t) = 6t - 6. Gia tốc triệt tiêu khi a(t) = 0, suy ra 6t - 6 = 0, suy ra t = 1 s. Vận tốc tức thời tại thời điểm t = 1 s là v(1) = 3(1)² - 6(1) + 9 = 3 - 6 + 9 = 6 m/s. Câu 1: Sau mỗi năm, số tiền trong tài khoản tăng lên gấp \( 1 + 6\% = 1,06 \) lần so với số tiền trong tài khoản trước đó. Ta có: - Sau 1 năm, số tiền trong tài khoản là: \( 60 \times 1,06 \) - Sau 2 năm, số tiền trong tài khoản là: \( 60 \times 1,06^2 \) - Sau n năm, số tiền trong tài khoản là: \( 60 \times 1,06^n \) Ta cần tìm n sao cho: \[ 60 \times 1,06^n > 100 \] Chia cả hai vế cho 60: \[ 1,06^n > \frac{100}{60} \] \[ 1,06^n > \frac{5}{3} \] Bây giờ ta thử các giá trị của n để tìm n nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên. - Với \( n = 1 \): \[ 1,06^1 = 1,06 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 2 \): \[ 1,06^2 = 1,1236 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 3 \): \[ 1,06^3 = 1,191016 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 4 \): \[ 1,06^4 = 1,26247096 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 5 \): \[ 1,06^5 = 1,3382255776 \] (không thỏa mãn) - Với \( n = 6 \): \[ 1,06^6 = 1,418519112256 \] (thỏa mãn) Vậy sau ít nhất 6 năm, người đó nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng gồm cả gốc lẫn lãi. Câu 2: Để giải bài toán này, ta cần tìm khoảng cách giữa đường thẳng \(AD\) và \(SB\). Trước tiên, ta cần xác định vị trí của các điểm trong không gian. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Đặt \(A(0, 0, 0)\), \(B(2, 0, 0)\), \(C(2, 2, 0)\), \(D(0, 2, 0)\). - Đường chéo \(AC\) có độ dài \(AC = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). - Điểm \(I\) thuộc đoạn \(AC\) và thỏa mãn \(AC = 4AI\). Do đó, \(AI = \frac{AC}{4} = \frac{2\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). - Tọa độ của \(I\) có thể được xác định bằng cách chia đoạn \(AC\) theo tỉ lệ \(1:3\) (vì \(AI:IC = 1:3\)): \[ I\left(\frac{0 + 3 \times 2}{4}, \frac{0 + 3 \times 2}{4}, 0\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, 0\right) \] - Đỉnh \(S\) có tọa độ \(S(x, y, z)\) và \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \((ABCD)\), do đó \(S\) có tọa độ \((\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, z)\). - Từ \(SA = 2\sqrt{2}\), ta có: \[ \sqrt{\left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{3}{2} - 0\right)^2 + z^2} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + z^2} = 2\sqrt{2} \] \[ \sqrt{\frac{18}{4} + z^2} = 2\sqrt{2} \] \[ \frac{18}{4} + z^2 = 8 \] \[ \frac{9}{2} + z^2 = 8 \] \[ z^2 = 8 - \frac{9}{2} = \frac{7}{2} \] \[ z = \sqrt{\frac{7}{2}} \] Vậy tọa độ của \(S\) là \(\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right)\). 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(AD\) và \(SB\): - Đường thẳng \(AD\) có phương trình tham số: \(\vec{AD} = (0, 2, 0)\). - Đường thẳng \(SB\) có phương trình tham số: \(\vec{SB} = \left(2 - \frac{3}{2}, 0 - \frac{3}{2}, 0 - \sqrt{\frac{7}{2}}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{\frac{7}{2}}\right)\). - Tính vector chỉ phương của \(AD\) và \(SB\): \[ \vec{AD} = (0, 2, 0), \quad \vec{SB} = \left(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{\frac{7}{2}}\right) \] - Vector nối từ \(A\) đến \(S\) là: \[ \vec{AS} = \left(\frac{3}{2} - 0, \frac{3}{2} - 0, \sqrt{\frac{7}{2}} - 0\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right) \] - Tính tích có hướng \(\vec{AD} \times \vec{SB}\): \[ \vec{AD} \times \vec{SB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & -\sqrt{\frac{7}{2}} \end{vmatrix} = \left(2\sqrt{\frac{7}{2}}, 0, -1\right) \] - Độ dài của \(\vec{AD} \times \vec{SB}\): \[ \left|\vec{AD} \times \vec{SB}\right| = \sqrt{\left(2\sqrt{\frac{7}{2}}\right)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{14 + 1} = \sqrt{15} \] - Khoảng cách giữa hai đường thẳng là: \[ d = \frac{\left|\vec{AS} \cdot (\vec{AD} \times \vec{SB})\right|}{\left|\vec{AD} \times \vec{SB}\right|} \] - Tính \(\vec{AS} \cdot (\vec{AD} \times \vec{SB})\): \[ \vec{AS} \cdot (\vec{AD} \times \vec{SB}) = \left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right) \cdot \left(2\sqrt{\frac{7}{2}}, 0, -1\right) \] \[ = \frac{3}{2} \times 2\sqrt{\frac{7}{2}} + \frac{3}{2} \times 0 + \sqrt{\frac{7}{2}} \times (-1) \] \[ = 3\sqrt{\frac{7}{2}} - \sqrt{\frac{7}{2}} = 2\sqrt{\frac{7}{2}} \] - Do đó, khoảng cách \(d\) là: \[ d = \frac{\left|2\sqrt{\frac{7}{2}}\right|}{\sqrt{15}} = \frac{2\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{15}} \] - Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: \[ d \approx \frac{2 \times 1.8708}{3.8729} \approx 0.97 \] Vậy khoảng cách giữa đường thẳng \(AD\) và \(SB\) là khoảng \(0.97\). Câu 3: Tổng số bi trong hộp là: \[ 6 + 4 + 5 = 15 \] Số bi đỏ và bi vàng là: \[ 4 + 5 = 9 \] Xác suất để lấy được một viên bi màu đỏ hoặc màu vàng là tỉ số giữa số bi đỏ và bi vàng so với tổng số bi: \[ P(\text{đỏ hoặc vàng}) = \frac{9}{15} \] Rút gọn phân số này: \[ \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \] Phân số \(\frac{3}{5}\) đã ở dạng tối giản, do đó \(a = 3\) và \(b = 5\). Tính \(a + b\): \[ a + b = 3 + 5 = 8 \] Vậy đáp án là: \[ a + b = 8 \] Câu 4: Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số \( y = 2x^2 - \sin 2x \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số \( y \). \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2) - \frac{d}{dx}(\sin 2x) \] Ta biết rằng: \[ \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \] \[ \frac{d}{dx}(\sin 2x) = 2\cos 2x \] Do đó: \[ y' = 4x - 2\cos 2x \] Bước 2: Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số \( y \). \[ y'' = \frac{d}{dx}(4x) - \frac{d}{dx}(2\cos 2x) \] Ta biết rằng: \[ \frac{d}{dx}(4x) = 4 \] \[ \frac{d}{dx}(2\cos 2x) = 2 \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -4\sin 2x \] Do đó: \[ y'' = 4 + 4\sin 2x \] So sánh với dạng \( y'' = a + b\sin 2x \), ta thấy: \[ a = 4 \] \[ b = 4 \] Bước 3: Tính \( a^2 + b^2 \). \[ a^2 + b^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32 \] Vậy đáp án là: \[ a^2 + b^2 = 32 \] Câu 1: Để giải bất phương trình \(\log_2(2x+4) \geq 0\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức bên trong logarit phải dương: \(2x + 4 > 0\). - Giải bất phương trình này: \[ 2x + 4 > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2. \] - Vậy điều kiện xác định là \(x > -2\). 2. Giải bất phương trình: - Bất phương trình ban đầu là \(\log_2(2x+4) \geq 0\). - Ta biết rằng \(\log_2(1) = 0\). Do đó, bất phương trình trở thành: \[ \log_2(2x+4) \geq \log_2(1). \] - Vì cơ số của logarit là 2 (lớn hơn 1), bất phương trình tương đương với: \[ 2x + 4 \geq 1. \] - Giải bất phương trình này: \[ 2x + 4 \geq 1 \implies 2x \geq -3 \implies x \geq -\frac{3}{2}. \] 3. Kết hợp điều kiện xác định và kết quả: - Điều kiện xác định là \(x > -2\). - Kết quả từ việc giải bất phương trình là \(x \geq -\frac{3}{2}\). - Vì \(-\frac{3}{2} > -2\), nên điều kiện cuối cùng là: \[ x \geq -\frac{3}{2}. \] Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(\log_2(2x+4) \geq 0\) là: \[ x \geq -\frac{3}{2}. \] Câu 2: A. Cả hai lần bắn đều trúng đích: - Xác suất trúng đích của viên thứ 1 là 0,9. - Xác suất trúng đích của viên thứ 2 là 0,6. - Vì kết quả các lần bắn độc lập với nhau nên xác suất cả hai lần bắn đều trúng đích là: 0,9 × 0,6 = 0,54. B. Có ít nhất 1 lần bắn trúng đích: - Xác suất không trúng đích của viên thứ 1 là 1 - 0,9 = 0,1. - Xác suất không trúng đích của viên thứ 2 là 1 - 0,6 = 0,4. - Xác suất không trúng đích ở cả hai lần bắn là: 0,1 × 0,4 = 0,04. - Xác suất có ít nhất 1 lần bắn trúng đích là: 1 - 0,04 = 0,96. Đáp số: a) 0,54 b) 0,96 Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A'B'C'D' Khối lập phương có cạnh là \( a \), do đó thể tích \( V \) của khối lập phương được tính bằng công thức: \[ V = a^3 \] b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AM \) và \( O'D \) Bước 1: Xác định tọa độ các điểm - Giả sử \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, a, 0) \), \( D(0, a, 0) \). - \( A'(0, 0, a) \), \( B'(a, 0, a) \), \( C'(a, a, a) \), \( D'(0, a, a) \). - Tâm \( O' \) của mặt đáy \( A'B'C'D' \) có tọa độ là trung điểm của đường chéo \( A'C' \) hoặc \( B'D' \), do đó \( O'\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( M \) Điểm \( M \) thuộc đoạn \( BD \) sao cho \( BM = \frac{3}{4}BD \). - Tọa độ của \( B \) là \( (a, 0, 0) \) và \( D \) là \( (0, a, 0) \). - Tọa độ của \( M \) được xác định bằng cách chia đoạn \( BD \) theo tỉ lệ \( \frac{3}{4} \). Tọa độ của \( M \) là: \[ M = \left(\frac{3}{4} \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot a, \frac{3}{4} \cdot a + \frac{1}{4} \cdot 0, 0\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, 0\right) \] Bước 3: Viết phương trình đường thẳng \( AM \) và \( O'D \) - Đường thẳng \( AM \) đi qua \( A(0, 0, 0) \) và \( M\left(\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, 0\right) \). - Đường thẳng \( O'D \) đi qua \( O'\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, a\right) \) và \( D(0, a, a) \). Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau \( AM \) và \( O'D \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|(\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{O'D}) \cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{O'D}|} \] - \(\overrightarrow{AM} = \left(\frac{a}{4}, \frac{3a}{4}, 0\right)\) - \(\overrightarrow{O'D} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)\) - \(\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)\) Tính tích có hướng \(\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{O'D}\): \[ \overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{O'D} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{4} & \frac{3a}{4} & 0 \\ -\frac{a}{2} & \frac{a}{2} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, \frac{a^2}{8} + \frac{3a^2}{8}) = (0, 0, \frac{a^2}{2}) \] Tính tích vô hướng \((\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{O'D}) \cdot \overrightarrow{AD}\): \[ (0, 0, \frac{a^2}{2}) \cdot (0, a, 0) = 0 \] Do đó, khoảng cách \( d = 0 \). Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng \( AM \) và \( O'D \) là 0, nghĩa là hai đường thẳng này cắt nhau.