Bài 3 nhé.

Bài 3: Tất nhiên, tôi sẽ giúp bạn giải quyết bài toán theo các quy tắc đã nêu. Bạn có bài toán cụ thể nào cần giải không? Hãy cho tôi biết để tôi có thể hỗ trợ bạn tốt nhất. Bài 3: Ta sẽ chứng minh rằng giá trị lớn nhất của số nguyên dương $k$ là 2024. Giả sử $P(x)$ là đa thức có nghiệm nguyên $a$. Ta xét đa thức $Q(x)=P(x)-2024$. Theo giả thiết, $Q(x)$ có đúng $k$ nghiệm nguyên phân biệt. Do $P(a)=0$, ta có $Q(a)=P(a)-2024=-2024$. Vậy $a$ là một nghiệm của $Q(x)+2024=0$. Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng nếu $Q(x)$ có $k$ nghiệm nguyên phân biệt thì $k \leq 2024$. Giả sử ngược lại, $Q(x)$ có hơn 2024 nghiệm nguyên phân biệt. Khi đó, ta có thể viết $Q(x)$ dưới dạng: $Q(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_{2025})R(x)$ trong đó $a_1,a_2,...,a_{2025}$ là các nghiệm nguyên phân biệt của $Q(x)$ và $R(x)$ là một đa thức khác không. Do $P(x)$ có nghiệm nguyên $a$, ta có $Q(a)=P(a)-2024=-2024$. Suy ra: $(a-a_1)(a-a_2)...(a-a_{2025})R(a)=-2024$ Vì $a_i$ là các số nguyên phân biệt nên $(a-a_i)$ là các số nguyên khác nhau. Do đó, tích $(a-a_1)(a-a_2)...(a-a_{2025})$ là một số nguyên chia hết cho $2024!$. Tuy nhiên, $-2024$ không chia hết cho $2024!$, mâu thuẫn. Vậy $Q(x)$ không thể có hơn 2024 nghiệm nguyên phân biệt. Do đó, $k \leq 2024$. Mặt khác, ta có thể chọn $P(x)=x^{2024}+2024$. Đa thức này có nghiệm nguyên $x=0$ và $P(x)-2024=x^{2024}$ có đúng 2024 nghiệm nguyên phân biệt là $x=0,1,-1,2,-2,...,1012,-1012$. Vậy giá trị lớn nhất của số nguyên dương $k$ là 2024.